유일 인수 분해 정역
가환대수학에서 유일 인수 분해 정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 인자환(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원으로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다.
정의
편집정역 가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 유일 인수 분해 정역이라고 한다.
성질
편집다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
- 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
데데킨트 정역 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
즉, 데데킨트 정역에서 아이디얼 유군은 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다.
유일 인수 분해의 충분 조건
편집가우스 보조정리(영어: Gauss’ lemma)에 따르면, 유일 인수 분해 정역 에 대하여, 그 다항식환 역시 유일 인수 분해 정역이다.
뇌터 정역에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:234, Corollary 10.6[2]:161–162, Theorem 20.1
나가타 보조정리(영어: Nagata’s lemma)는 다음과 같다.[1]:483, Lemma 19.20 가 뇌터 정역이며, 가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면 는 유일 인수 분해 정역이다.
오슬랜더-북스바움 정리(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)에 따르면, 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이다.[1]:483, Theorem 19.19[2]:163, Theorem 20.3[3]
뇌터 유일 인수 분해 정역 에 대하여, 만약 에 대하여 라면, 국소화 역시 유일 인수 분해 정역이다.
대수적 정수환의 유일 인수 분해
편집일반적으로, 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역일 필요충분조건은 그 아이디얼 유군이 자명군이라는 것이다. 즉, 이는 유수(= 아이디얼 유군의 크기)가 1인 경우이다. (대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로, 이 경우 유일 인수 분해 정역일 조건과 주 아이디얼 정역일 조건이 동치이다.)
이 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 실수 이차 수체 의 대수적 정수환 이 유일 인수 분해 정역을 이루는 경우는 다음과 같다.
허수 이차 수체 의 대수적 정수환 이 유일 인수 분해 정역을 이루는 을 헤그너 수라고 한다. 헤그너 수는 총 9개가 있으며, 다음과 같다.
이 양의 정수라고 하며,
라고 하자. 또한, 이 을 만족시키는 수라고 하자. 원분체 의 대수적 정수환 이 유일 인수 분해 정역인 은 총 30개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
- n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A5848)
(만약 인 경우 이므로 중복된다.)
예
편집수학에서 등장하는 많은 환들이 유일 인수 분해 정역을 이룬다.
- 정수의 환 · 가우스 정수 환 · 아이젠슈타인 정수 환 은 모두 주 아이디얼 정역이므로 유일 인수 분해 정역이다.
- 모든 체(유리수체 · 실수체 · 복소수체 · 유한체 등)는 유일 인수 분해 정역이다. 이 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이며, 따라서 이 경우는 자명한 예이다.
- 체 에 대한 형식적 거듭제곱 급수 환 은 유일 인수 분해 정역이다.
- 체에 대한, 2변수 이상의 다항식환 은 주 아이디얼 정역이 아닌 유일 인수 분해 정역의 예이다. (이 경우 는 주 아이디얼이 아니다.)
유일 인수 분해 정역이 아닌 예로는 다음을 들 수 있다.
- 대수적 정수환 은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 예를 들어, 6을 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수분해할 수 있다.
각주
편집- ↑ 가 나 다 Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.
- ↑ 가 나 Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
- ↑ Auslander, Maurice; Buchsbaum, David Alvin (1959). “Unique factorization in regular local rings”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 45: 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733. ISSN 0027-8424. JSTOR 90213. MR 0103906.
- Samuel, Pierre (1964). 《Lectures on unique factorization domains》 (PDF). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics (영어) 30. Tata Institute of Fundamental Research. MR 0214579.
- Sharpe, David (1987년 8월). 《Rings and factorization》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511565960. ISBN 978-052133718-2. Zbl 0674.13008.
외부 링크
편집- “Factorial ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Unique factorization domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.