유일 인수 분해 정역

가환대수학에서 유일 인수 분해 정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 인자환(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원으로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다.

정의

정역 $R$가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 유일 인수 분해 정역이라고 한다.

• 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 소원들의 곱으로 나타낼 수 있다.
• 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 기약원들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 인수 분해는 유일하다. 즉, $a\in R\setminus \{0\}$를 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수 분해하였다고 하자.

$a=\prod P=\prod Q$

여기서 $P=\{p_{1},\dots ,p_{m}\}=P$ 및 $Q=\{q_{1},\dots ,q_{n}\}$는 모두 기약원들로 구성된 중복집합이다. 그렇다면 전단사 함수 $\phi \colon P\to Q$가 존재하며, 모든 $p\in P$에 대하여

$\phi (p)=u(p)p$

인 가역원 $u(p)\in R$이 존재한다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

데데킨트 정역 $R$의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $R$는 유일 인수 분해 정역이다.
• $R$는 주 아이디얼 정역이다.
• $R$의 아이디얼 유군이 자명군이다.
• $R$의 유수가 1이다.

즉, 데데킨트 정역에서 아이디얼 유군은 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다.

유일 인수 분해의 충분 조건

가우스 보조정리(영어: Gauss’ lemma)에 따르면, 유일 인수 분해 정역 $R$에 대하여, 그 다항식환 $R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.

뇌터 정역에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:234, Corollary 10.6:161–162, Theorem 20.1}

• 유일 인수 분해 정역이다.
• 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.

나가타 보조정리(영어: Nagata’s lemma)는 다음과 같다.^{:483, Lemma 19.20} $R$가 뇌터 정역이며, $r\in R$가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

• $r\neq 0$
• $(r)$는 소 아이디얼이다.
• 국소화 $R_{r}$는 유일 인수 분해 정역이다.

그렇다면 $R$는 유일 인수 분해 정역이다.

오슬랜더-북스바움 정리(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)에 따르면, 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이다.^{:483, Theorem 19.19:163, Theorem 20.3}

뇌터 유일 인수 분해 정역 $D$에 대하여, 만약 $S\subseteq D$에 대하여 $0\not \in S$라면, 국소화 $S^{-1}D$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.

대수적 정수환의 유일 인수 분해

일반적으로, 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역일 필요충분조건은 그 아이디얼 유군이 자명군이라는 것이다. 즉, 이는 유수(= 아이디얼 유군의 크기)가 1인 경우이다. (대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로, 이 경우 유일 인수 분해 정역일 조건과 주 아이디얼 정역일 조건이 동치이다.)

$n$이 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 실수 이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {n}})$의 대수적 정수환 $\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$이 유일 인수 분해 정역을 이루는 경우는 다음과 같다.

n = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, … (OEIS의 수열 A3172)

허수 이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-n}})$의 대수적 정수환 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-n}}]$이 유일 인수 분해 정역을 이루는 $n$을 헤그너 수라고 한다. 헤그너 수는 총 9개가 있으며, 다음과 같다.

n = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (OEIS의 수열 A3173)

$n\in \mathbb {Z} ^{+}$이 양의 정수라고 하며,

$n\not \equiv 2{\pmod {4}}$

라고 하자. 또한, $\zeta _{n}$이 $\zeta _{n}^{n}=1$을 만족시키는 수라고 하자. 원분체 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$의 대수적 정수환 $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$이 유일 인수 분해 정역인 $n$은 총 30개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A5848)

(만약 $n\equiv 2{\pmod {4}}$인 경우 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})=\mathbb {Q} (\zeta _{n/2})$이므로 중복된다.)

예

수학에서 등장하는 많은 환들이 유일 인수 분해 정역을 이룬다.

• 정수의 환 $\mathbb {Z}$ · 가우스 정수 환 $\mathbb {Z} [i]$ · 아이젠슈타인 정수 환 $\mathbb {Z} [\zeta _{3}]$은 모두 주 아이디얼 정역이므로 유일 인수 분해 정역이다.
• 모든 체(유리수체 · 실수체 · 복소수체 · 유한체 등)는 유일 인수 분해 정역이다. 이 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이며, 따라서 이 경우는 자명한 예이다.
• 체 $K$에 대한 형식적 거듭제곱 급수 환 $K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$은 유일 인수 분해 정역이다.
• 체에 대한, 2변수 이상의 다항식환 $K[x_{1},x_{2},\dots x_{n}]$은 주 아이디얼 정역이 아닌 유일 인수 분해 정역의 예이다. (이 경우 $(x_{1},x_{2})$는 주 아이디얼이 아니다.)

유일 인수 분해 정역이 아닌 예로는 다음을 들 수 있다.

• 대수적 정수환 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 예를 들어, 6을 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수분해할 수 있다.

$6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}})$

• 복소 평면 $\mathbb {C}$ 위의 정칙 함수들의 환은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점들을 갖는 함수는 유한하게 인수 분해 할 수 없기 때문이다. 예를 들어, 복소 사인 함수 $z\mapsto \sin z$는 무한히 많은 영점을 가져, 유한하게 인수 분해할 수 없다.

참고 문헌

• Samuel, Pierre (1964). 《Lectures on unique factorization domains》 (PDF). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics (영어) 30. Tata Institute of Fundamental Research. MR 0214579. 
• Sharpe, David (1987년 8월). 《Rings and factorization》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511565960. ISBN 978-052133718-2. Zbl 0674.13008. 

외부 링크

• “Factorial ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Unique factorization domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.