소 아이디얼

환론에서 소 아이디얼(素ideal, 영어: prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.

정의

환 $R$의 양쪽 진 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.

• 임의의 두 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이거나 ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Definition 10.1}
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $(r)(s)\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 $r\in {\mathfrak {p}}$이거나 $s\in {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rRs\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 $r\in {\mathfrak {p}}$이거나 $s\in {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• 임의의 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이거나 ${\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• 임의의 왼쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이거나 ${\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• $R\setminus {\mathfrak {p}}$는 m계를 이룬다.^{:156, Corollary 10.4}
• 몫환 $R/{\mathfrak {p}}$가 소환이다.^:158

여기서 환 $R$의 부분 집합 $S\subseteq R$가 다음 조건을 만족시킨다면 m계(m系, 영어: m-system)라고 한다.

• 임의의 $s,t\in S$에 대하여, $srt\in S$인 $r\in R$가 존재한다.

물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.

완전 소 아이디얼

환 $R$의 양쪽 진 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(完全素ideal, 영어: completely prime ideal)이라고 한다.

• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rs\in {\mathfrak {p}}$라면 $r\in {\mathfrak {p}}$이거나 $s\in {\mathfrak {p}}$이다.
• 몫환 $R/{\mathfrak {p}}$는 영역이다.^:194
• $R\setminus {\mathfrak {p}}$는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

소원

소환 $R$의 원소 $p\in R$가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 소원(素元, 영어: prime element)이라고 한다.^:§4.2

• $pR=Rp$
• $p\neq 0$
• $pR$는 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 모든 $t\in R$에 대하여 $p\mid rts$라면, $p\mid r$이거나 $p\mid s$이다. (여기서 $p\mid a$는 $a\in Rp=pR$를 뜻한다.)

마찬가지로, 소환 $R$의 원소 $p\in R$가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 완전 소원(完全素元, 영어: completely prime element)이라고 한다.^:§4.2

• $pR=Rp$
• $p\neq 0$
• $pR$는 완전 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $p\mid rs$라면 $p\mid r$이거나 $p\mid s$이다.

물론 $pR=Rp$인 것은 가환환에서 자동적으로 성립한다.

(가환) 정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,^{:284, Proposition 8.11} 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.^:284

$3\mid 9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$

$3\nmid 2+{\sqrt {-5}}$

$3\nmid 2-{\sqrt {-5}}$

성질

일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼

그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
• 소환이다.

임의의 환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
• 영역이다.

(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)

자명환이 아닌 환은 초른 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 $R$의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, ${\mathfrak {p}}$에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

함자성

 이 부분의 본문은 환의 스펙트럼입니다.

두 환 $R$, $S$ 사이의 환 준동형 $f\colon R\to S$ 및 $S$의 완전 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\vartriangleright S$에 대하여, 그 원상 $f^{-1}({\mathfrak {p}})$는 $R$의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, $R$의 완전 소 아이디얼들의 집합을 $\operatorname {compSpec} (R)$라고 한다면, 이는 함자

$\operatorname {compSpec} \colon \operatorname {Ring} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

를 정의한다.

가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 $R$의 소 아이디얼의 집합 $\operatorname {Spec} (R)$은 위상 공간 및 스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴의 범주 $\operatorname {Sch}$로 가는 함자

$\operatorname {Spec} \colon \operatorname {Ring} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Sch}$

를 정의한다.

소 아이디얼 원리

환 $R$의 양쪽 아이디얼들의 집합 ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Sub} (R_{R})$가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, 오카 족([岡]族, 영어: Oka family)이라고 한다.^{:Definition 2.1:Definition 2.1}

• $R\in {\mathcal {F}}$
• 임의의 $r\in R$ 및 양쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {a}}_{R}$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {a}}+RrR\in {\mathcal {F}}$이며 $(r)^{-1}{\mathfrak {a}}=\{s\in R\colon rRs\subseteq {\mathfrak {a}}\}\in {\mathcal {F}}$이며 ${\mathfrak {a}}(r)^{-1}=\{s\in R\colon sRr\subseteq {\mathfrak {a}}\}$라면, ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {F}}$이다.

소 아이디얼 원리(영어: prime ideal principle)에 따르면,^{:Theorem 3.4:2.4} ${\mathcal {F}}$가 환 $R$의 오카 족이라고 할 때, ${\mathcal {F}}$의 여집합 $\operatorname {Sub} (_{R}R_{R})\setminus {\mathcal {F}}$의 극대 원소는 소 아이디얼이다. (여기서 $\operatorname {Sub} (_{R}R_{R})$는 $R$의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.)

특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다.

• 환 $R$의 m계 $S\subseteq R$에 대하여, $S$와 교차하는 양쪽 아이디얼들의 족 $\{{\mathfrak {a}}\vartriangleleft R\colon {\mathfrak {a}}\cap S\neq \varnothing \}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.1}
  • 가환환 $R$의 임의의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, $S$와 교차하는 아이디얼들의 족 $\{{\mathfrak {a}}\vartriangleleft R\colon {\mathfrak {a}}\cap S\neq \varnothing \}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.1}
• 환 $R$의 오른쪽 가군 $M_{R}$에 대하여, $\{{\mathfrak {a}}\vartriangleleft R\colon N{\mathfrak {a}}\neq 0\;\forall N_{R}\subseteq M_{R},\;N_{R}\neq 0\}$는 오카 족이다.^{:Proposition 3.5}
  • 가환환 $R$의 가군 $M$에 대하여, $\operatorname {Ideal} (R)\setminus \{\operatorname {Ann} _{R}(m)\colon m\in M\setminus \{0\}\}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.5} (여기서 $\operatorname {Ann} (-)$은 소멸자를 뜻한다.)
• 환 $R$의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 만약 모든 $s\in S$에 대하여 $sR=Rs$라면, $\{Rs=sR\colon s\in S\}$는 오카 족이다.^{:Proposition 4.1}
  • 가환환 $R$의 임의의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, $S$의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 족 $\{(s)\colon s\in S\}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.17} 특히, 모든 주 아이디얼들의 족 $\{(r)\colon r\in R\}$은 오카 족이다.
• 가환환 $R$의 유한 생성 아이디얼들의 족은 오카 족이다.^{:Proposition 3.16} (그러나 이는 비가환환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.^:§2)

소 아이디얼 회피

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 환 $R$
• $R$의 양쪽 아이디얼들의 유한 집합 $\{{\mathfrak {a}}_{1},\dots ,{\mathfrak {a}}_{n}\}$. 또한, $n\geq 3$에 대하여 ${\mathfrak {a}}_{n}$은 완전 소 아이디얼이다.
• $R$의 부분 유사환 (즉, 곱셈에 대하여 닫힌, 1을 포함하지 않을 수 있는 덧셈 부분군) $S\subseteq R$. 또한, 모든 $1\leq i\leq n$에 대하여 $S\not \subseteq {\mathfrak {a}}_{i}$이다.

소 아이디얼 회피 정리(素ideal回避定理, 영어: prime avoidance)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $S\not \subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}$

즉, $S$가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.

증명:

$n$에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. $n=1$인 경우는 자명하다. $n\geq 2$일 때, 귀납 가정에 의하여 각 $1\leq i\leq n$에 대하여

$s_{i}\in S\setminus \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {a}}_{j}$

를 고를 수 있다. 그렇다면

$S\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}\ni s={\begin{cases}s_{i}&\exists 1\leq i\leq n\colon s_{i}\not \in {\mathfrak {a}}_{i}\\s_{1}\cdots s_{n-1}+s_{n}&\forall 1\leq i\leq n\colon s_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}\end{cases}}$

이다.

가환환의 소 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

가환환 $R$의 진 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {p}}$는 소 아이디얼이다.
• ${\mathfrak {p}}$는 완전 소 아이디얼이다.
• $R/{\mathfrak {p}}$가 정역이다.

가환환 $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$의 여집합 $R\setminus {\mathfrak {p}}$가 모노이드를 이루므로, $R\setminus {\mathfrak {p}}$에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 $(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R$는 국소환을 이룬다.

가환환의 준동형 $f\colon R\to S$ 및 $S$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, $f^{-1}({\mathfrak {p}})$는 $R$의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.

• 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다.
• 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.

높이

 이 부분의 본문은 아이디얼의 높이입니다.

가환환 $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$의 높이 $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.

$\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=\max\{n\colon {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}\}$

특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 극소 소 아이디얼(極小素ideal, 영어: minimal prime ideal)이라고 한다.

예를 들어,

• 가환 아르틴 환의 경우 (크룰 차원이 0이므로) 극소 소 아이디얼 · 소 아이디얼 · 극대 아이디얼의 개념이 일치한다.
• 정역의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼이다.
• 가환 뇌터 환은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 에미 뇌터가 증명하였다.)

예

정수환 $\mathbb {Z}$의 소 아이디얼들은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 $p$는 $p$의 배수들로 구성된 아이디얼 $p\mathbb {Z} =\{np\colon n\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {Z}$와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 $p$가 두 정수의 곱 $ab$를 나누면 $p$는 $a$나 $b$ 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, ${\mathfrak {p}}\neq R$이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

역사

역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.

비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.

참고 문헌

• Wiegand, Roger; Wiegand, Sylvia (2010). 〈Prime ideals in Noetherian rings: a survey〉 (PDF). Albu, Toma; Birkenmeier, Gary F.; Erdoğan, Ali; Tercan, Adnan. 《Ring and module theory》. Trends in Mathematics (영어). Springer-Verlag. 175–193쪽. doi:10.1007/978-3-0346-0007-1_13. ISBN 978-3-0346-0006-4. 2017년 9월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 23일에 확인함. 

외부 링크

• Zhevlakov, K.A. (2001). “Prime ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Prime element”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Prime ideal theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Prime element”. 《nLab》 (영어). 
• “Prime ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Prime element”. 《Commalg》 (영어). 
• “Prime avoidance lemma”. 《Commalg》 (영어). 
• “Prime ideal need not contain any prime element”. 《Commalg》 (영어). 
• “Primeness is contraction-closed”. 《Commalg》 (영어). 
• “Principal prime ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Minimal prime ideal”. 《Commalg》 (영어). 

같이 보기

• 환의 스펙트럼