기저 (선형대수학)

선형대수학에서, 어떤 벡터 공간의 기저(基底, 영어: basis)는 그 벡터 공간을 선형생성하는 선형독립인 벡터들이다. 달리 말해, 벡터 공간의 임의의 벡터에게 선형결합으로서 유일한 표현을 부여하는 벡터들이다.

정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 유한 기저는 다음 두 조건을 만족하는, $V$의 유한부분집합 $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}\subseteq V$이다.

• (선형독립) 임의의 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$에 대하여, 만약 $c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}=0$이면, $c_{1}=\cdots =c_{n}=0$이다.
• (선형생성) 임의의 벡터 $v\in V$는, 어떤 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$를 써서 $v=c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}$와 같이 표현된다.

이때 간단히 $b_{1},\ldots ,b_{n}$을 $V$의 기저라고도 한다.

보다 일반적으로, 기저는 다음 두 조건을 만족하는 $V$의 부분집합 $B\subseteq V$이다.

• (선형독립) 임의의 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$ 및 $b_{1},\ldots ,b_{n}\in B$에 대하여, 만약 $c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}=0$이면, $c_{1}=\cdots =c_{n}=0$이다.
• (선형생성) 임의의 벡터 $v\in V$는, 어떤 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$ 및 $b_{1},\ldots ,b_{n}\in B$를 써서 $v=c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}$와 같이 표현된다.

샤우데르 기저와 구별하기 위해, 하멜 기저(영어: Hamel basis)라는 용어를 사용하기도 한다.

성질

모든 벡터는 기저의 선형결합으로 유일하게 표현되며, 서로 다른 벡터는 서로 다른 표현을 갖는다. 따라서 기저는 벡터를 식별하는 좌표를 부여한다.

벡터 공간의 차원은 기저 집합의 원소의 개수이다.

기저의 종류

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2}$의 벡터 $e_{1}=(1,0)$, $e_{2}=(0,1)$은 $\mathbb {R} ^{2}$의 기저이다. 보다 일반적으로, $n$차 단위행렬의 열벡터 $e_{1},\ldots ,e_{n}$은 $\mathbb {R} ^{n}$의 기저이며, 이를 $\mathbb {R} ^{n}$의 표준기저(標準基底, 영어: standard basis)라고 한다.

벡터 공간의 기저는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, $b_{1}=(1,0)$, $b_{2}=(1,1)$ 역시 $\mathbb {R} ^{2}$의 기저이다.

실수 다항식환 $\mathbb {R} [x]$는 무한 기저 $\{1,x,x^{2},\ldots \}$을 갖는다.

정규직교기저

$(V,\|\cdot \|)$가 순서체 $K$ 위의 노름 공간이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 $V$의 기저 $B$를 정규기저(영어: normal basis)라고 한다.

• 모든 $b\in B$에 대하여, $\|b\|=1$

$(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$가 순서체 $K$ 위의 내적공간이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 $V$의 기저 $B$를 직교기저(영어: orthogonal basis)라고 한다.

• 모든 $b,b'\in B$에 대하여, 만약 $b\neq b'$이라면 $\langle b,b'\rangle =0$

정규기저이자 직교기저인, 내적공간의 기저를 정규직교기저(영어: orthonormal basis)라고 한다.

이를테면, $\mathbb {R} ^{n}$의 표준기저는 정규직교기저이다.

좌표

유클리드 공간에서 점과 그 좌표가 일대일 대응하는 것과 비슷하게, 일반 벡터 공간에서 주어진 기저에 따라 좌표(座標, 영어: coordinate)를 구성할 수 있다. 다만, 유클리드 공간의 표준기저가 자연스런 순서를 갖춘 것처럼, 일반 벡터 공간에서도 순서를 추가한 기저 즉 순서기저(順序基底, 영어: ordered basis)가 필요하다.

구체적으로, 벡터 공간 $V$의 순서기저는 전순서를 갖춘, $V$의 기저이다. 유한차원 벡터 공간의 경우, 기저에 자연수 첨수를 주는 것으로 족하다. 유한차원 벡터 공간 $V$ 및 그 순서기저 $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 $v\in V$의 기저 $B$에 대한 좌표는 $v=c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}$을 만족하는 스칼라의 튜플

$(v)_{B}=(c_{1},\ldots ,c_{n})$

이다.

이에 따라, 벡터 공간의 순서기저가 주어졌을 때, 벡터는 그 좌표와 일대일 대응한다.

기저의 변환

벡터 공간 $V$의 기저 ${\mathfrak {B}}=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\},{\mathfrak {B'}}=\{v'_{1},\ldots ,v'_{n}\}$가 주어질 때, 기저 변환을 다음과 같이 표시할 수 있다. 여기서 $[v]_{\mathfrak {B}},[v]_{\mathfrak {B'}}$는 벡터 v를 각각 ${\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}$ 기저로 표시한 좌표이고, $[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}$는 기저 ${\mathfrak {B}}$에서 ${\mathfrak {B'}}$로 변환하는 행렬이다.

$[v]_{\mathfrak {B'}}=[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}[v]_{\mathfrak {B}}$

기존 기저 ${\mathfrak {B}}$의 원소를 새로운 기저 ${\mathfrak {B'}}$의 선형 결합으로 표시할 수 있다.

$v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,j}v'_{k}\qquad {\text{for }}j=1,\cdots ,n$

이 때, $[v_{j}]_{\mathfrak {B'}}={\begin{bmatrix}a_{1,j}\\\vdots \\a_{n,j}\end{bmatrix}}$의 꼴이 된다.

만약 ${\mathfrak {E}}$가 $\mathbb {R} ^{n}$의 표준기저이고 ${\mathfrak {B}}$가 다른 기저라고 한다면, 기저 ${\mathfrak {B}}$에서 ${\mathfrak {E}}$로 변환하는 행렬 $[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}$의 열 성분은 순서기저 ${\mathfrak {B}}$의 열벡터 성분이다. 이 점을 이용하여 ${\mathfrak {B}}$에서 ${\mathfrak {B'}}$로의 기저 변환 행렬을 간편하게 구할 수 있다.

$[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}=[I]_{{\mathfrak {E}},{\mathfrak {B'}}}[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}=([I]_{{\mathfrak {B'}},{\mathfrak {E}}})^{-1}[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}$

주석과 참고 자료

• “Basis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector space basis”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.