행렬

(열벡터에서 넘어옴)

수학에서, 행렬(行列, 영어: matrix)은 또는 다항식 등을 직사각형 모양으로 배열한 것이다.[1][2] 예를 들어, 실수 1, 9, −13, 20, 5, −16을 2×3 직사각형 위에 배열한 행렬은 다음과 같다.

행렬의 각 성분은 보통 그 행과 열의 번째수를 나타내는 첨자로 표기한다. 예를 들어, 행렬 의 3번째 행의 2번째 열에 있는 성분은 이다.

행렬에는 덧셈과 스칼라배, 곱셈 연산이 존재한다. 크기가 같은 두 행렬은 같은 위치의 성분별로 더할 수 있으며, 첫째 행렬의 열과 둘째 행렬의 행의 수가 같은 두 행렬은 첫째 행렬의 각 행벡터와 둘째 행렬의 각 열벡터의 스칼라곱을 통해 곱할 수 있다. 곱셈의 교환 법칙이나 소거 법칙복소수의 일부 성질들은 행렬 연산에서 더 이상 성립하지 않는다. 가환환 위의 유한 차원 자유 가군(특히, 위의 유한 차원 벡터 공간)의 선형 변환을 행렬로 유일하게 표현할 수 있으며, 이는 행렬의 중요한 응용이다. 예를 들어, 3차원 유클리드 공간회전회전 행렬 을 각 열벡터 에 곱하여 새 열벡터 를 얻는 함수이다. 행렬의 덧셈과 스칼라배는 선형 변환의 점별 덧셈과 점별 스칼라배, 행렬의 곱셈은 선형 변환의 합성에 대응한다. 행렬은 가우스 소거법연립 일차 방정식의 풀이에도 응용된다.[2]:97 정사각 행렬과 그 선형 변환의 일부 성질들은 그 행렬식 또는 고윳값고유 벡터에서 반영된다. 예를 들어, 가환환의 원소를 성분으로 하는 행렬이 역행렬을 가질 필요 충분 조건은 행렬식이 가역원인 것이며, 특히 의 경우 필요 충분 조건은 행렬식이 0이 아닌 것이다.

행렬은 과학과 수학의 수많은 분야에서 다양한 응용이 있다. 물리학전기 회로 이론, 고전역학, 광학, 전자기학, 양자역학, 양자 전기역학 등 분야에서 응용되며, 컴퓨터 그래픽스에서 3차원 이미지를 2차원 평면에 투영하거나 사실적인 움직임을 그려내기 위해 사용한다. 확률론통계학마르코프 행렬다변수 미적분학헤세 행렬 등 역시 행렬의 응용이다. 행렬 계산은 수치해석학의 중요한 문제 중 하나이다. 행렬 분해는 행렬 계산을 이론과 실제 응용에서 모두 단순화할 수 있다. 희소행렬, 띠행렬 등 널리 사용되는 특수한 구조의 행렬들의 경우 특화된 고속 알고리즘들이 존재한다. 천체물리학양자물리학 등 분야에서는 무한 행렬도 등장한다.

정의편집

  위의   행렬은 각 행   및 열  순서쌍  에 환의 원소  를 대응시키는 함수  이다.[2]:98

행렬  는 모든 성분을 직사각형으로 배열한 다음 소괄호 또는 대괄호를 추가하여

 

또는

 

와 같이 표기한다.

   번째 행  번째 열의 성분(成分, 영어: entry) 또는 원소(元素, 영어: element) 또는 계수(係數, 영어: coefficient)라고 한다. 행렬  의 각 성분은 행과 열의 번째수를 첨수로 사용하여  ,  ,  ,  ,  ,   등과 같이 나타낸다. 행과 열의 번째수가 같은 성분   ( )을  대각 성분(對角成分, 영어: diagonal entry) 또는 대각 원소(對角元素, 영어: diagonal element) 또는 대각 요소(對角要素) 또는 주대각선 성분이라고 한다.[2]:99

  위의   행렬의 집합은   또는  로 표기한다.

크기편집

행렬  크기(영어: size)는 행과 열의 수의 순서쌍   또는  을 뜻한다. 일부 특수한 크기의 행렬들은 특별한 이름으로 불린다.

  • 만약 행과 열의 수가 같다면 ( ),  정사각 행렬(正四角行列, 영어: square matrix) 또는 정방 행렬(正方行列)이라고 한다.   위의   정사각 행렬의 집합은   또는  로 표기한다.
  • 만약  이라면,    행벡터(行-, 영어: row vector)라고 한다.
  • 만약  이라면,    열벡터(列-, 영어: column vector)라고 한다.

특히, 행렬   번째 행벡터와  번째 열벡터는 각각

 

 

이며, 이를 통해 행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

연산편집

행렬들에 대하여 덧셈, 스칼라배, 곱셈, 전치 행렬 등의 연산을 정의할 수 있으며, 정사각 행렬은 역행렬, 대각합, 행렬식 등 연산이 추가로 정의된다. 덧셈은 같은 크기의 두 행렬에 대해서만 정의되며, 곱셈은 오직 첫 번째 행렬의 열의 수와 두 번째 행렬의 행의 수가 같은 경우에만 정의된다.[2]:99 역행렬가역 정사각 행렬에 대하여 정의되며, 행렬식가환환 위의 정사각 행렬에 대하여 정의된다.

덧셈과 스칼라배편집

  위의 두  의 행렬  의 합  은 두 행렬을 성분별로 합한   행렬이다. 즉, 각 행과 열  ,  에 대하여,

 

이다.

실수 행렬의 예는 다음과 같다.

 

  위의  의 행렬   및 환의 원소  에 대하여, 왼쪽·오른쪽 스칼라배  는 각각 행렬의 각 성분의 왼쪽·오른쪽에 스칼라를 곱한   행렬이다.

 
 

만약  가환환일 경우, 이 두 연산은 일치하며, 이를 스칼라배라고 부른다.

실수 행렬의 예는 다음과 같다.

 

  위의   행렬의 집합  은 위 덧셈과 왼쪽·오른쪽 스칼라배에 따라  -쌍가군을 이룬다. 만약  가환환일 경우, 이는 (덧셈과 스칼라배에 따른)  -가군이 되며, 특히 만약  일 경우  -벡터 공간이다. 이 쌍가군의 덧셈 항등원영행렬(즉, 모든 성분이 0인 행렬)

 

이며, 각 행렬  의 덧셈 역원은 성분별 덧셈 역원

 
 

이다.

특히, 두 행렬  의 차를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

  위의   행렬의  -쌍가군  는 왼쪽 가군으로서  차원 왼쪽 자유 가군을 이루며, 오른쪽 가군으로서  차원 오른쪽 자유 가군을 이룬다.  가환환일 경우  차원 자유  -가군이다. 그 한 기저는 다음과 같다.

 
 
 
 

곱셈편집

 
행렬 곱셈

  위의   행렬    행렬  의 곱    행렬이며, 그  번째 행  번째 열 성분은   번째 행벡터와   번째 열벡터의 ‘스칼라곱’이다 (둘 모두  차원 벡터이므로 ‘스칼라곱’이 정의된다).

 

다음은 실수 행렬의 예다.

 

행벡터와 열벡터

 
 

를 통해 행렬 곱셈을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

행렬 곱셈은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉,   위의 임의의   행렬    행렬    행렬  에 대하여,

 

가 성립한다.

행렬 곱셈은 함수

 

로서  -쌍선형 함수를 이룬다.

특히,   위의 정사각 행렬들의  -쌍가군  는 그 위의 행렬 곱셈에 따라  -결합 대수를 이룬다. 특히 을 이루며, 행렬환(行列環, 영어: matrix ring)이라고 한다. 행렬환의 곱셈 항등원단위 행렬(즉, 모든 대각 성분이 1, 그 밖의 성분이 0인 행렬)

 

이다.

교환 법칙과 소거 법칙의 실패편집

행렬환은 일반적으로 가환환이 아니다. 즉, 행렬 곱셈의 교환 법칙은 (의 경우에도) 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 2×2 행렬의 경우

 

이지만

 

이다.

물론 가환하는 두 행렬도 존재한다. 예를 들어, 가환환 위의 스칼라 행렬은 (같은 크기의) 모든 행렬과 가환한다. 또한, 가환환   및 정사각 행렬  에 대하여,

 

가환환이다.

행렬환은 일반적으로 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자를 갖는다. 즉, 0이 아닌 두 행렬의 곱은 0일 수 있으며, 소거 법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 행렬에서

 

이다.

역행렬편집

행렬환  가역원가역 행렬이라고 하며, 그 곱셈 역원역행렬이라고 한다. 일반적으로 행렬환은 ( 위에서도) 0이 아닌 비가역 행렬을 갖는다. 예를 들어, 실수 2×2 정사각 행렬

 

가역 행렬이 아니다.

만약  가환환일 경우, 가역 행렬은 행렬식이 환의 가역원인 것과 동치이며, 특히 의 경우 행렬식이 0이 아닌 것과 동치이다. 또한, 가역 행렬  역행렬행렬식수반 행렬을 통하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

전치 행렬편집

  위의   행렬  전치 행렬  는 행과 열을 교환한   행렬이다. 즉, 각   에 대하여,

 

이다.[2]:99

다음은 실수 행렬의 예다.

 

이다.

전치 행렬은 함수

 

로서  -쌍가군 동형을 이루며, 그 역함수 또한 (정의역공역이 뒤바뀐) 전치 행렬이다.

또한, 임의의   행렬    행렬  에 대하여,

 

이다.

특히,   위의 정사각 행렬의  -결합 대수   위에서, 전치 행렬 와 그 반대환   사이의 대합  -결합 대수 동형이며, 만약  가환환일 경우  는 전치 행렬에 따라  -대합 대수를 이룬다.

대각합편집

  위의   정사각 행렬  대각합은 모든 대각 성분들의 합이다.

 

대각합

 

 -선형 변환을 이룬다. 또한, 임의의  에 대하여, 그 대각합은 그 전치 행렬의 대각합과 같다.

 

만약  가환환일 경우, 임의의 두 행렬  에 대하여, 두 행렬의 곱의 대각합은 곱하는 순서와 무관하게 같다.

 

행렬식편집

가환환   위의   정사각 행렬  행렬식은 다음과 같다.

 

여기서  대칭군이며,  순열의 부호이다. 행렬  의 행렬식은  ,  ,   등으로 표기한다. 특히, 2×2 행렬  의 행렬식은 다음과 같다.

 

행렬식은  개의 행벡터(또는 열벡터)의 함수

 

로서, 단위 행렬이 1인 유일한 교대  -다중 선형 형식이다. 또한, 행렬식은 두 환의 곱셈 모노이드 사이의 준동형이며, 전치 행렬에 대하여 불변이다. 즉, 임의의  에 대하여,

 
 

이다.

행렬식은 크라메르 공식에서 사용된다.

기타편집

그 밖에도 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.

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몇몇 특수한 행렬들은 다음이 있다.

역사와 어원편집

1848년 수학에 처음으로 실베스터가 사용한 행렬(matrix)이라는 단어의 어원은 해부학에서 자궁(子宮,모체母體)을 뜻한다. 행렬식에대해서 행렬의 의미를 표현한것으로 전해진다.[3]

참고 문헌편집

  1. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 
  2. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 
  3. 고등기하와 벡터, 성지출판 (  일차변환과 행렬) 수학이야기-행렬과 행렬식30p

외부 링크편집