기 (수학)
대수기하학에서, 기(旗, 영어: flag 플래그[*])는 벡터 공간 속의 부분 벡터 공간들로 구성된 여과이다.
정의
편집체 위의 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 속의 기는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
여기서 각 는 의 부분 -벡터 공간이다. 즉, 의 부분 벡터 공간들에 대한 특별한 여과이다.
만약 가 유한 차원 벡터 공간일 때, 길이가 인 기를 완비기(完備旗, 영어: complete flag)라고 한다.
속의, 차원들이 인 기들의 모듈라이 공간
을 기 대수다양체(旗代數多樣體, 영어: flag variety)라고 한다. 이는 -사영 대수다양체를 이룬다.
성질
편집-벡터 공간 의 개 성분의 기 들의 공간 위에는 일반 선형군 가 다음과 같이 작용한다.
이 작용에 대한 안정자군을 기 의 안정자군이라고 한다.
유한 차원 벡터 공간 속의 기의 안정자군은 일반 선형군 의 포물형 부분군이며, 완비기의 안정자군은 의 보렐 부분군이다.
예
편집유한 차원 -벡터 공간 의 기저 를 잡고, 표준기(標準旗, 영어: standard flag)
를 생각하자. 그렇다면, 그 안정자군은 다음과 같이 가역 상삼각 행렬들로 구성된다.
역사
편집“기”(프랑스어: drapeau 드라포[*])라는 용어는 이미 1955년에 아르망 보렐이 사용하였다.[1]:234, §5.1 “기”라는 단어의 어원은 다음과 같다. 속의 완비기는 원점(0차원 공간) · 직선(1차원 공간) · 평면(2차원 공간) · 3차원 공간으로 구성된다.
3차원 공간 속에, 깃대에 달려 있는, 빳빳한 깃발을 생각하자. 그렇다면, 이로부터 다음과 같은 기를 정의할 수 있다.
- 원점은 깃봉(깃대의 끝의 장식)이다.
- 직선은 깃대를 연장하여 얻는 직선이다.
- 평면은 깃발을 연장하여 얻는 평면이다.
- 3차원 공간은 공간 전체이다.
이에 따라, 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화될 수 있다.
같이 보기
편집참고 문헌
편집- ↑ Borel, Armand (1955년 12월). “Groupes algébriques”. 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 121 (121): 229–238. MR 1611387. Zbl 0116.26201.
외부 링크
편집- “Flag”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Flag structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Origin of terms “flag”, “flag manifold”, “flag variety”?” (영어). Math Overflow.