여과 (수학)

수학에서, 여과(濾過, 영어: filtration)는 전순서 집합으로 지표화된 일련의 부분 대상들로 구성된 구조이다.

정의편집

범주  의 대상  이 주어졌다고 하자. 그 위의, 부분 대상부분 순서 집합  을 정의할 수 있다.

전순서 집합  에 대하여,   위의  -오름 여과(영어: ascending filtration)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 전순서 집합  
  • 순서 보존 함수  ,  .

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

 

  위의  -내림 여과(영어: descending filtration)는  -올림 여과와 같은 개념이다.

흔히  의 경우 보통 자연수의 전순서 집합  이 사용된다.

마찬가지로, 부분 대상의 집합   대신 몫 대상의 집합  을 사용하면 쌍대 여과(영어: cofiltration)의 개념을 정의할 수 있다. 이는 반대 범주  에서의 여과와 같다.

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가군편집

  위의 왼쪽 가군   위의  -감소 여과

 

가 주어졌다고 하자. 이 경우,  에 다음과 같은 기저로 정의되는 자연스러운 위상을 부여할 수 있다.

 

이러한 위상이 하우스도르프 공간이 될 필요 충분 조건

 

인 것이다.

특히, 만약  양쪽 아이디얼  가 주어졌을 때, 여과

 

에 대응되는 위상은  진 위상(영어:  -adic topology)이라고 한다. 이는 대수기하학에서 등장한다.

결합 대수편집

가환환   위의 결합 대수  가 주어졌으며, 그 위에  -가군으로서의  -올림 여과

 

가 주어졌다고 하자. (그러나 이는  -결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.

 

(특히,  이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은  -등급 대수를 정의할 수 있다.[1]:64, §2.1

 

그 위의 곱셈은 다음과 같다.

 
 
 

이 경우

 

이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

 
 

기호 사상(記號寫像, 영어: symbol map)이라고 한다.[1]:64, §2.1

벡터 공간편집

선형대수학에서,   위의 벡터 공간  의 오름 여과

 

에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉

 

이라면, 이를 (旗, 영어: flag)라고 한다.

시그마 대수편집

 원순서 집합이라고 하자. 시그마 대수   위의 (오름) 여과순서 보존 함수

 
 

를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립하여야 한다.

임의의  에 대하여,  

여기서   의 부분 시그마 대수들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이다. 여기서,  의 원소는 보통 "시간"이라고 불린다.

여과를 갖춘 시그마 대수를 여과 시그마 대수(濾過σ代數, 영어: filtered sigma algebra)라고 하며, 마찬가지로 여과 확률 공간(濾過確率空間, 영어: filtered probability space) 따위를 정의할 수 있다.

이는 금융공학에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우  는 시점  에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을  -마팅게일로 만듦으로써 완전 시장을 모형화할 수 있다.

참고 문헌편집

  1. Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20062-8. Zbl 0744.58001. 

외부 링크편집