나선

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나선(螺旋, 문화어: 라선)은 3차원 공간의 곡선과 같이, 매끄러운 곡선의 일종이다. 이는 물체의 겉모양이 빙빙 비틀린 형태를 지닌다. 나선의 영어 낱말 helix(헬릭스)는 "꺾인, 굽은"을 뜻하는 그리스어 낱말 ἕλιξ에서 왔다.

나선 (cos t, sin t, t)

수학

3차원 공간 곡선으로서의 나선:

${\begin{aligned}x(t)&{}=\cos(t),\\y(t)&{}=\sin(t),\\z(t)&{}=t.\end{aligned}}$

원통좌표계 (r, θ, h):

${\begin{aligned}r(t)&{}=1,\\\theta (t)&{}=t,\\h(t)&{}=t.\end{aligned}}$

원 나선(반지름 a, 2πb):

${\begin{aligned}x(t)&{}=a\cos(t),\\y(t)&{}=a\sin(t),\\z(t)&{}=bt.\end{aligned}}$

호의 길이, 곡률과 비틀림(Arc length, curvature and torsion)

반지름이 a 인 원기둥에 기울기 b/a (or pitch 2πb) 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다.

$t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]$

나선 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같다.

$\mathbf {r} =a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k}$

이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면

$\mathbf {v} =-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k}$

$\mathbf {a} =-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

이다. 속력과 가속도 크기를 구하면 아래와 같다.

$|\mathbf {v} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$|\mathbf {a} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a$

호의 길이를 구하는 변수를 구하면

$s(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t$

이다. 이제 변수 $s$ 로 위치벡터를 다시 매개변수화하자.

$\mathbf {r} =a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$

변수 $s$ 에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면

${\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$

${\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

이다. 따라서 나선의 곡률은 ${\bigg |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\bigg |}=\kappa ={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}$이다.

단위 법선벡터를 구하면

$\mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

이므로 이중법선벡터는 아래와 같다.

$\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} ={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\bigg [}b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} {\bigg ]}$

이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.

${\frac {d\mathbf {B} }{ds}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\bigg [}b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} {\bigg ]}$

비틀림은 $\tau ={\bigg |}{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}{\bigg |}={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}$이다.

이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.

참고 공간 곡선 운동에 관하여