미분기하학 에서 매끄러운 다양체 (영어 : smooth manifold ) 또는 미분 가능 다양체 (微分可能多樣體, 영어 : differentiable manifold )는 미적분학 을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체 이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분 과 적분 및 벡터장 이나 미분 형식 과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.
자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
{\displaystyle n}
다양체
M
{\displaystyle M}
좌표근방계 (座標近傍系, 영어 : atlas )
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
{\displaystyle \Phi }
함수 의 집합 이며,
Φ
{\displaystyle \Phi }
ϕ
∈
Φ
{\displaystyle \phi \in \Phi }
매장
ϕ
:
dom
ϕ
↪
R
n
{\displaystyle \phi \colon \operatorname {dom} \phi \hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}}
정의역
dom
ϕ
⊆
M
{\displaystyle \operatorname {dom} \phi \subseteq M}
M
{\displaystyle M}
열린 집합 이며, 치역
ϕ
(
dom
ϕ
)
{\displaystyle \phi (\operatorname {dom} \phi )}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
열린 집합 이다.이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
⋃
ϕ
∈
Φ
dom
ϕ
=
M
{\displaystyle \bigcup _{\phi \in \Phi }\operatorname {dom} \phi =M}
{
dom
ϕ
}
ϕ
∈
Φ
{\displaystyle \{\operatorname {dom} \phi \}_{\phi \in \Phi }}
M
{\displaystyle M}
열린 덮개 이다.임의의
ϕ
,
ψ
∈
Φ
{\displaystyle \phi ,\psi \in \Phi }
dom
ϕ
∩
dom
ψ
≠
∅
{\displaystyle \operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi \neq \varnothing }
ψ
|
dom
ϕ
∩
dom
ψ
∘
ϕ
−
1
|
ϕ
(
dom
ϕ
∩
dom
ψ
)
:
ϕ
(
dom
ϕ
∩
dom
ψ
)
→
ψ
(
dom
ϕ
∩
dom
ψ
)
{\displaystyle \psi |_{\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi }\circ \phi ^{-1}|_{\phi (\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi )}\colon \phi (\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi )\to \psi (\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi )}
매끄러운 함수 이다. 이러한 함수를 추이 사상 (영어 : transition map )이라고 한다. 매끄러운 다양체
(
M
,
Φ
)
{\displaystyle (M,\Phi )}
다양체 이다.
만약 추이 사상에 대한 조건을
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
해석 함수 로 강화시킨다면, 이를 해석 다양체 (解析多樣體, 영어 : analytic manifold )라고 한다.
같은 다양체
M
{\displaystyle M}
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
′
{\displaystyle \Phi '}
Φ
∪
Φ
′
{\displaystyle \Phi \cup \Phi '}
호환 된다고 한다. 이는 동치 관계 를 이룬다. 또한,
M
{\displaystyle M}
⊆
{\displaystyle \subseteq }
부분 순서 집합 을 이루며, 이에 대한 극대 원소 를 극대 좌표근방계 (座標近傍系, 영어 : maximal atlas )라고 한다. 임의의 좌표근방계
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
⊆
Φ
′
{\displaystyle \Phi \subseteq \Phi '}
Φ
′
{\displaystyle \Phi '}
미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류 와 일대일 대응 하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 매끄러움 구조 (영어 : smooth structure )라고 하기도 한다.
두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수
f
:
(
M
,
Φ
)
→
(
N
,
Ψ
)
{\displaystyle f\colon (M,\Phi )\to (N,\Psi )}
연속 함수 이다.
임의의
ϕ
∈
Φ
{\displaystyle \phi \in \Phi }
ψ
∈
Ψ
{\displaystyle \psi \in \Psi }
f
(
dom
ϕ
)
∩
dom
ψ
≠
∅
{\displaystyle f(\operatorname {dom} \phi )\cap \operatorname {dom} \psi \neq \varnothing }
ψ
|
dom
ψ
∩
f
(
dom
ϕ
)
∘
ϕ
−
1
|
ϕ
(
dom
ϕ
∩
f
−
1
(
dom
ψ
)
)
:
ϕ
(
dom
ϕ
∩
f
−
1
(
dom
ψ
)
)
→
ψ
(
dom
ψ
∩
f
(
dom
ϕ
)
)
{\displaystyle \psi |_{\operatorname {dom} \psi \cap f(\operatorname {dom} \phi )}\circ \phi ^{-1}|_{\phi (\operatorname {dom} \phi \cap f^{-1}(\operatorname {dom} \psi ))}\colon \phi (\operatorname {dom} \phi \cap f^{-1}(\operatorname {dom} \psi ))\to \psi (\operatorname {dom} \psi \cap f(\operatorname {dom} \phi ))}
매끄러운 함수 이다. 두
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
범주 는
Diff
{\displaystyle \operatorname {Diff} }
동형 을 미분동형
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
동치 이다. 다양체
M
{\displaystyle M}
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
Φ
{\displaystyle \Phi }
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
Φ
∞
{\displaystyle \Phi _{\infty }}
해슬러 휘트니 가 증명하였다. 따라서,
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
매끄러운 다양체의 범주
Diff
{\displaystyle \operatorname {Diff} }
곱 을 가지며, 다양체 의 범주로의 망각 함자
Diff
→
TopMfd
{\displaystyle \operatorname {Diff} \to \operatorname {TopMfd} }
(
M
,
Φ
)
{\displaystyle (M,\Phi )}
(
N
,
Ψ
)
{\displaystyle (N,\Psi )}
(
M
×
N
,
Φ
×
Ψ
)
{\displaystyle (M\times N,\Phi \times \Psi )}
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
위상 공간 으로서의) 곱공간 이다.
Φ
×
Ψ
=
{
(
m
,
n
)
∈
dom
ϕ
×
dom
ψ
↦
(
ϕ
(
m
)
,
ψ
(
n
)
)
∈
R
dim
M
×
R
dim
N
:
ϕ
∈
Φ
,
ψ
∈
Ψ
}
{\displaystyle \Phi \times \Psi =\{(m,n)\in \operatorname {dom} \phi \times \operatorname {dom} \psi \mapsto (\phi (m),\psi (n))\in \mathbb {R} ^{\dim M}\times \mathbb {R} ^{\dim N}\colon \phi \in \Phi ,\psi \in \Psi \}}
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
dim
M
+
dim
N
{\displaystyle \dim M+\dim N}
데카르트 닫힌 범주 가 아니다.
3차원 이하의 차원의 다양체 는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.
