단면 (올다발)

위상수학에서 단면(斷面, 영어: section 섹션^[*])은 공간 위의 함수의 개념을 올다발에 대하여 일반화시킨 개념이다. 즉, 대략 올다발의 올 속에 값을 갖는 사상이다.

R²의 벡터장. 접다발의 단면은 벡터장이다.

정의

올다발 $\pi \colon E\to X$의 단면은 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 $s\colon X\to E$이다.

$\pi \circ s=\operatorname {id} _{X}$

즉, 모든 $x\in X$에 대하여 $f(x)\in \pi ^{-1}(x)$이다.

만약 $\pi$가 매끄러운 올다발일 경우 (즉, $E$와 $X$가 매끄러운 다양체이며 $\pi$가 매끄러운 함수일 경우), $E$의 매끄러운 단면(영어: smooth section)은 매끄러운 함수인 단면이다.

예

만약 올다발 $E$가 자명 다발 $E=X\times Y$라면, 단면은 $Y$로 가는 연속 함수 $f\colon X\to Y$가 된다. 즉, 단면은 공역이 점에 따라 달라지는, 함수의 일반화이다.

다양체의 접다발의 단면은 벡터장이라고 한다.

같이 보기

• 올뭉치
• 게이지 이론 (수학)
• 주다발
• 당김 올다발
• 벡터 다발

외부 링크

• “Section”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bundle section”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.