스펙트럼 정리

선형대수학과 함수해석학에서 스펙트럼 정리(spectrum定理, 영어: spectral theorem)는 선형작용소들을 그 고윳값 및 고윳값의 일반화인 스펙트럼으로 나타내는 일련의 정리들이다.

행렬에 대한 스펙트럼 정리

$A\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$이 $n\times n$ 에르미트 행렬(정규 행렬만 되어도 충분하다.)이라고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 $A$의 고유벡터들로 구성된, $\mathbb {C} ^{n}$의 정규 직교 기저가 존재한다. 다시 말해, $A$는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

$A=U\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})U^{*}$

여기서 $U$는 유니터리 행렬이며, $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$은 (중복도를 고려한) $A$의 고윳값들이다.

마찬가지로, 실수 대칭행렬 $A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$이 주어졌을 때, 스펙트럼 정리에 따라

$A=Q\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})Q^{T}$

로 적을 수 있다. 여기서 $Q$는 직교행렬이며, $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$은 (중복도를 고려한) $A$의 고윳값들이다.

콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리

힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위에 콤팩트 자기 수반 작용소 $A\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 $A$의 고유벡터들로 구성된, ${\mathcal {H}}$의 정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

일반적 작용소에 대한 스펙트럼 정리

힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위에 부분적으로 정의된 자기 수반 작용소

$A\colon \operatorname {dom} A\subset {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$

가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 가측 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$ 및 유니터리 작용소

$U\colon {\mathcal {H}}\to L^{2}(X)$

가 존재한다 ($\operatorname {dom} U={\mathcal {H}}$, $U({\mathcal {H}})=L^{2}(X)$).

$A=U^{-1}fU$

참고 문헌

• Halmos, Paul (1963년 3월). “What does the spectral theorem say?” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 70 (3). doi:10.2307/2313117. JSTOR 2313117. 

외부 링크

• “Spectral decomposition of a linear operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Spectral theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Spectral theorem” (영어). PlanetMath.