스펙트럼 정리

선형대수학함수해석학에서, 스펙트럼 정리(spectrum定理, 영어: spectral theorem)는 선형작용소들을 그 고윳값 및 고윳값의 일반화인 스펙트럼으로 나타내는 일련의 정리들이다.

행렬에 대한 스펙트럼 정리Edit

   에르미트 행렬이라고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면  고유벡터들로 구성된,  정규 직교 기저가 존재한다. 다시 말해,  는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

 

여기서  유니터리 행렬이며,  은 (중복도를 고려한)  의 고윳값들이다.

마찬가지로, 실수 대칭행렬  이 주어졌을 때, 스펙트럼 정리에 따라

 

로 적을 수 있다. 여기서  직교행렬이며,  은 (중복도를 고려한)  의 고윳값들이다.

콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리Edit

힐베르트 공간   위에 콤팩트 자기 수반 작용소  가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면  의 고유벡터들로 구성된,  정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

일반적 작용소에 대한 스펙트럼 정리Edit

힐베르트 공간   위에 부분적으로 정의된 자기 수반 작용소

 

가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 측도 공간  가측 함수  유니터리 작용소

 

가 존재한다 ( ,  ).

 

참고 문헌Edit

외부 링크Edit