독립 (확률론)

(독립성에서 넘어옴)

확률론에서 두 사건독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다.

정의

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독립 사건 집합

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확률 공간   위의 사건들의 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면,  가 서로 독립이라고 한다.

  • 모든 유한 집합  에 대하여,
     

독립 사건 시그마 대수 집합

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확률 공간   위의,  의 부분 시그마 대수들의 집합  이 다음 성질을 만족시킬 경우,  가 서로 독립이라고 한다.

  • 모든 유한 집합    ( )에 대하여,  

사건의 집합  에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.

  •  는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
  •  는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서   를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

독립 확률 변수 집합

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같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합

 

에 대하여, 시그마 대수

 

를 정의할 수 있다. 만약  가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합  이 서로 독립이라고 한다.

성질

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확률 공간   위의 π계의 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 서로 독립이다.
  • 모든 유한 집합    ( )에 대하여,  

확률 공간   위의 시그마 대수의 집합   분할  에 대하여, 만약  가 서로 독립이라면,

 

역시 서로 독립이다.

같이 보기

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외부 링크

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