디리클레 합성곱

디리클레 합성곱(Dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.

정의

f, g가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, f, g의 디리클레 포갬 f * g는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.

$(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$

여기서 덧셈은 n의 모든 양의 약수 d에 대해 이루어진다.

성질

이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:

• 닫혀있다: f와 g가 모두 곱셈적이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.)
• 교환법칙: f * g = g * f
• 결합법칙: (f * g) * h = f * (g * h)
• 분배법칙: f * (g + h) = f * g + f * h
• 항등원: f * ε = ε * f = f, 여기서 ε은 n = 1에서 ε(n) = 1, n > 1에서 ε(n) = 0으로 정의되는 함수.
• 역원: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 f * g = ε를 만족한다.

덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 f(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다.

나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다.

곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.

역원의 계산

주어진 수론적 함수 $f(n)$에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 $f^{-1}(n)$이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.

$f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}$

그리고 $n>1$일 경우는 다음과 같다.

$f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n~~d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d).$

예를 들어, 모든 $n$에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다.

디리클레 급수와의 관계

f가 수론적 함수이면, L-급수(L-series)는 다음과 같이 정의된다. 급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,

$L(f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다. 좌변이 존재하는 모든 s에 대해,

$L(f,s)L(g,s)=L(f*g,s)$

위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.

수론적 함수의 미분과의 관계

물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.

주어진 산술함수 $f(n)$의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 $\Lambda$는 망골트 함수(Mangoldt function)이다.

$f'(n)=f(n)\log n\;$

예를 들어, 모든 $n$에 대해 1 인 수론적 함수 $u(n)$이 있다고 할 때, 관계식 $\sum _{d|n}\Lambda (d)=\log n$ 때문에 다음이 성립한다

$\Lambda *u=u'$

위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.

• $(f+g)'=f'+g'$
• $(f*g)'=f'*g+f*g'$
• $(f^{-1})'=-f'*(f*f)^{-1}$