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수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘(영어: closure)은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 또는 .

목차

정의편집

닫힘편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 집합  
  •   위의 ' 항 관계'  . 단, 임의의  에 대하여,  이며,  
    • 특히,  에 대하여,   위의  항 관계을 위 조건 및  를 만족시키는 ' 항 관계'로 여길 수 있다. 또한,  항 연산은 자연스럽게  항 관계로 여길 수 있다.

만약  의 부분 집합  가 다음 조건을 만족시키면,   에 대하여 닫혀있다(영어: closed under  )고 한다.

  • 임의의   에 대하여,  이면  

보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는,   위의 ' 항 관계'의 집합  가 주어졌을 때,  가 다음 조건을 만족시키면,  에 대하여 닫혀있다(영어: closed under  )고 한다.

  •   에 대하여 닫혀있다.
    • 즉, 임의의  에 대하여,   에 대하여 닫혀있다.

폐포편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 집합  
  •  의 부분 집합들에 대한 성질  

 의 부분 집합   에 대한 폐포  는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

  •  
  • 임의의  에 대하여,  

폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다.  가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며,   의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

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위상수학편집

위상 공간  의 부분 집합  가 다음  항 관계  에 대하여 닫혀있다면,  닫힌집합이라고 한다. 임의의  에 대하여,

 

여기서  는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다.  의 부분 집합  에 대하여, 최소 닫힌집합   폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는  항 관계  에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의  에 대하여,

 

대수학편집

 의 부분 집합  가 군의 연산 집합  에 대하여 닫혀있다면,  부분군이라고 한다.  에 대하여, 최소 부분군   로 생성되는 군이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체  부분체    속에서   위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면,   역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체  대수적 폐포  는 최소 대수적으로 닫힌 체  이다.   의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

집합론편집

집합  가 (모든 집합의 모임   위의) 원소 관계  에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합  에 대하여, 최소 추이적 집합   추이적 폐포라고 한다.

집합   위의 이항 관계    위의 일항 관계  에 대하여 닫혀있다면, 즉,  이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계  에 대하여, 최소 반사 관계   반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.

같이 보기편집