라리타-슈윙거 방정식

라리타-슈윙거 방정식(영어: Rarita–Schwinger equation)은 그래비티노와 같은 스핀 1½인 페르미온을 다루는 파동 방정식이다.

장방정식
스핀 0클라인-고든 방정식
스핀 ½디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½라리타-슈윙거 방정식
스핀 2아인슈타인 방정식

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 스핀 다양체  의 (디랙 또는 마요라나 또는 바일 또는 마요라나-바일) 스피너 다발  
  • 필바인  ,  

그렇다면,

 

에 대하여 다음과 같은 편미분 방정식을 적을 수 있으며, 이를 (무질량) 라리타-슈윙거 방정식이라고 한다.[1]:(5.2)

 

이는 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도된다.

 
 

일부 경우 여기에 질량항을 추가할 수도 있다.

성질편집

게이지 변환편집

 개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 라리타-슈윙거 장은 (질량 껍질 밖에서) 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.[1]틀:Rp§5

 

즉, 이는  차원의 게이지 변환

 

을 겪는다.

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가진다. 이 경우, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군  (의 범피복군)의

 

표현에 해당한다.

마찬가지로, (1,5)차원의 경우, 바일 스피너는 4개의 복소수 성분을 가지며, 이에 기반하는 라리타-슈윙거 장은 4×5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군  의 콤팩트화  의 20차원 표현

 

에 해당한다.

마찬가지로, (1,10)차원의 경우, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이 경우 마요라나-슈윙거 장은 32×10 = 320개의 실수 성분을 갖는다.

질량 껍질편집

질량 껍질 위에서,  개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 (무질량) 라리타-슈윙거 장은 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.[1]:§5

 

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가지며, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×1×½ = 2개의 자유도를 갖는다. (1,3)차원에서 중력장 개의 자유도를 가지므로, (1,3)차원   초대칭에서 이들은 하나의 초다중항을 이룰 수 있다.

역사편집

1941년에 미국의 윌리엄 라리타(영어: William R. Rarita, 1907~1999)와 줄리언 슈윙거가 도입하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2011년 11월). “Ingredients of supergravity”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 59 (11–12): 1118–1126. arXiv:1106.1097. Bibcode:2011ForPh..59.1118F. doi:10.1002/prop.201100059. 
  2. Rarita, William R.; Schwinger, Julian (1941). “On a theory of particles with half-integral spin”. 《Physical Review》 (영어) 60: 61. doi:10.1103/PhysRev.60.61. 
  • Pilling, Terry (2004). “Symmetry of massive Rarita–Schwinger fields” (영어). arXiv:hep-th/0404131. 

외부 링크편집