스핀 다양체

미분위상수학에서 스핀 다양체(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다. 즉, 직교 틀다발 $P_{\operatorname {SO} }M\to M$을 이중 피복 공간 $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$에 대하여 적절히 주다발 $P_{\mathrm {Spin} }M\to M$으로 확장할 수 있는 가향 (준) 리만 다양체다.

정의

임의의 두 자연수 $(p,q)$에 대하여, 스핀 군에서 특수 직교군으로 가는 표준적인 2겹 전사 군 준동형

$\rho \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )$

이 존재한다.

파라콤팩트 공간 $M$ 위의 $\operatorname {SO} (p,q)$-주다발 $\pi _{\operatorname {SO} }\colon P\twoheadrightarrow M$ 위의 스핀 구조(spin構造, 영어: spin structure)란 다음 데이터로 구성된다.

• Spin(p,q)-주다발 $\pi _{\operatorname {Spin} }\colon P_{\mathrm {Spin} }(M)\to M$
• 이중 피복 공간 $p\colon P_{\operatorname {Spin} }(M)\twoheadrightarrow P_{\operatorname {SO} }(M)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• $\pi _{\operatorname {SO} }\circ p=\pi _{\operatorname {Spin} }$
• 임의의 $x\in P_{\operatorname {Spin} }$, $h\in \operatorname {Spin} (n)$에 대하여 $p(x\cdot h)=p(x)\cdot \rho (h)$이다. (여기서 $\cdot$은 주다발 위의 군의 작용이다.) 즉, 군의 작용은 $p$와 가환한다.

파라콤팩트 공간 $M$ 위의 유향(有向) 벡터 다발 $E$ 위의 스핀 구조는 $E$의 직교 틀다발 $P_{\operatorname {SO} }(E)$ 위의 스핀 구조이다.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 스핀 구조는 그 접다발 $\mathrm {T} M$(의 틀다발) 위의 스핀 구조이다. 스핀 다양체는 스핀 구조를 지닌 가향 준 리만 다양체다.

스피너 다발

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하고, 스핀 군 $\operatorname {Spin} (p,q)$의 $\mathbb {K}$-선형 표현

$\kappa \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {GL} (\Delta ;\mathbb {K} )$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올이 $\Delta$인 복소수 연관 벡터 다발

$S=P_{\operatorname {Spin} }\times _{\kappa }\Delta$

을 정의할 수 있다.

특히, $\operatorname {Spin} (p,q)$는 항상 $2^{\lfloor (p+q)/2\rfloor }$차원 복소수 표현(디랙 스피너)을 갖는다. 이에 대응되는 복소수 벡터 다발을 디랙 스피너 다발 $\mathrm {S} M$이라고 한다. 만약 $p+q$가 짝수라면, 디랙 스피너는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너의 직합으로 표현되며, 디랙 스피너 다발은 다음과 같은 두 바일 스피너 다발의 직합으로 분해된다.

$\mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M$

만약 $(p-q){\bmod {8}}\in \{0,\pm 1,\pm 2\}$라면, 마찬가지로 마요라나 스피너 다발 $\mathrm {S} _{\mathbb {R} }M$을 정의할 수 있다. 이는 실수 벡터 다발이며,

$\mathrm {S} M=\mathrm {S} _{\mathbb {R} }M\otimes \mathbb {C}$

이다. 만약 $p-q$가 8의 배수라면, 마요라나-바일 스피너 다발 $\mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{\pm }M$이 존재하며,

$\mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{\pm }M\otimes \mathbb {C} =\mathrm {S} ^{\pm }M$

$\mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{+}M\oplus \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{-}M=\mathrm {S} _{\mathbb {R} }M$

이다.

스핀 다양체 위의 스피너장(spinor場, 영어: spinor field)은 스피너 다발의 매끄러운 단면이다.

성질

가향 다양체 $M$ 위에 스핀 구조가 존재할 필요 충분 조건은 2차 슈티펠-휘트니 특성류

$\mathrm {w} _{2}(M)\in \mathrm {H} ^{2}(M,\mathbb {Z} /2)$

가 0인지 여부이다.^{:115, Proposition 3.34}

분류

만약 매끄러운 다양체 $M$ 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 $\operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)$의 집합과 일대일 대응한다.^{:115, Proposition 3.34} 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 $\operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)$에 대한 아핀 공간이다.

직관적으로 해석하면, 축약 불가능 폐곡선들을 따라 스피너를 평행 운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 양자장론에서 페르미온의 라몽 경계 조건(영어: Ramond boundary condition, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건(영어: Neveu–Schwartz boundary condition, −)의 선택에 대응한다.

예

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.

• 종수 g의 콤팩트 리만 곡면은 2^2g개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 세타 지표(영어: theta characteristic)라고 불린다.
• 모든 3차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀 구조를 갖는다.
• 초구 Sⁿ는 모두 스핀 구조를 갖는다. $n\neq 1$일 때 이는 유일하며, 원 $\mathbb {S} ^{1}$은 두 개의 스핀 구조를 갖는다.
• 홀수 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb {CP} ^{2k+1}$은 스핀 구조를 갖는다.
• 모든 칼라비-야우 다양체는 스핀 구조를 갖는다.

다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.

• 짝수 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb {CP} ^{2k}$은 스핀 구조를 갖지 않는다.

낮은 차원의 벡터 다발의 스핀 구조

0차원에서는 Spin(0) = SO(0)이므로, 스핀 구조는 자명하다. 이는 1차원에서도 마찬가지다.

2차원에서는 Spin(2) = U(1) = SO(2)이지만, 이 경우 Spin(2)는 SO(2)의 2겹 피복이다. 이를 2차원 벡터 다발로 여길 경우, SO(2)=U(1) 구조를 갖는 2차원 벡터 다발은 에르미트 계량을 가진 복소수 선다발에 해당한다. 이 경우, 이 복소수 선다발 $L$의 스핀 구조는 복소수 선다발의 (텐서곱에 대한) 제곱근, 즉

${\sqrt {L}}\otimes {\sqrt {L}}\cong L$

이 되는 복소수 선다발 $L$에 해당한다.

참고 문헌

• Ebert, Johannes Felix (2006년 7월). 《Characteristic classes of spin surface bundles: Applications of the Madsen-Weiss theory》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Universität Bohn. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 18일에 확인함. 

같이 보기

• 스핀 접속
• 스피너
• 스핀C 다양체

외부 링크

• Alekseevskii, D.V. (2001). “Spinor structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Spin structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Twisted spin structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Differential spin structure”. 《nLab》 (영어).