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선형대수학에서, 라플라스 전개(-展開, 영어: Laplace expansion) 또는 여인자 전개(餘因子展開, 영어: cofactor expansion)는 행렬식을 더 작은 두 행렬식과 그에 맞는 부호를 곱한 것들의 합으로 전개하는 것이다.

목차

내용편집

소행렬식과 여인자편집

n × n 정사각행렬 A(i, j) 소행렬식 MijAi행과 j열을 지워서 얻어진 행렬식이다. A여인자 Cij는 거기에 1 또는 -1을 값으로 하는 계수 (-1)i + j를 곱한 것이다. 즉,

 

예를 들어 행렬

 

(2, 3) 소행렬식과 여인자는 각각 다음과 같다.

 
 

라플라스 전개편집

n × n 행렬 A = [aij]의 행렬식은 고정된 i행의 각 항과 그의 여인자의 곱으로 전개할 수 있다.

 

비슷하게, 고정된 j열에 대하여 전개할 수 있다.

 

고전적 수반 행렬편집

서로 다른 행의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다.

 

비슷하게, 서로 다른 열의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다.

 

즉,

 
 

여기서  크로네커 델타이다. 정리하면, 행렬과 그 고전적 수반 행렬의 곱은 다음과 같다.

 

여러 행에 대한 전개편집

라플라스 전개는 임의의 k개의 행에 대한 전개로 일반화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

  • I, J{1, ..., n}k원소 부분 집합이다. 즉, k개의 행과 열을 뜻한다.
  • AI, JA에서 행 첨수가 I에, 열 첨수가 J에 있는 원소만을 골라내어 얻는 행렬식이다.
  • MI, JA에서 행 첨수가 I에, 열 첨수가 J에 있는 원소만을 제거하여 얻는 행렬식이다.

그렇다면, 행렬식은 고정된 k개의 행 I에 대하여 다음과 같이 전개된다.

 

비슷하게, 행렬식은 고정된 k개의 열 J에 대하여 다음과 같이 전개된다.

 

여러 행에 대한 라플라스 전개는 필산하기에 복잡하나, 이론적으로 유용하다.

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3 × 3 행렬

 

의 행렬식은 1행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

2열에 대하여 전개해도 결과는 같다.

 

물론, A는 1행과 3행의 합이 2행의 2배이므로, 특이 행렬이다. 따라서, 행렬식은 당연히 위 계산대로 0이다.

4 × 4 행렬

 

의 행렬식은 1행에 대한 전개를 통해 계산할 수 있다. 먼저 소행렬식  ,  ,  ,  는 모두 3 × 3 행렬식이므로 역시 다음과 같이 라플라스 전개를 통해 계산할 수 있다.

 
 
 
 

따라서, 행렬식은 다음과 같다.

 

여러 행에 대한 전개편집

위 4 × 4 행렬

 

의 행렬식은 1행과 2행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

증명편집

 에 대하여, 다음과 같은 함수  를 정의하자.

 
 

즉,    이상의 원소들을 뒤로 한 칸 밀며, 나머지 원소들은 움직이지 않는다. 그렇다면, 함수

 
 

일대일 대응이다.

행렬식의 라이프니츠 공식 속,  를 포함하는 항

 

을 생각하자. 또한,

 
 

라고 하자. 그렇다면,

 

이며,

 
 

이다. 또한,   개의 호환으로 표현할 수 있으므로,

 

이다. 따라서,

 

여러 행에 대한 전개편집

위 증명과 비슷하게, 다음 대상들을 정의하자. ( )

  •  원소 집합  에 대하여,  은 의 원소들을 뒤로 밀어  의 원소들에 공백이 생기도록 하는 함수이다.
  • 일대일 대응
     
     

행렬식의 라이프니츠 공식에서,  인 항

 

을 생각하자. 또한,

 
 

를 정의하자. 그렇다면,  는 다음과 같이  으로 환원된다.

  •  의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호 과 같다.
  •  의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는  와 같다.
  •  에 대하여,   번째로 돌려 놓는다. 치환의 부호는  와 같다.

그러므로,

 

이며, 따라서

 

역사편집

알렉상드르 테오필 방데르몽드는 두 행에 대한 전개를 제시하였다.[1] 피에르시몽 라플라스는 1772년 논문 《Recherches sur Ie calcul integral et sur Ie systeme du monde,》에서 행렬식 전개를 임의 개수 행에 대한 전개로 일반화하였다.[1] 오귀스탱 루이 코시는 정리의 증명을 제시하였다.[1]

같이 보기편집

각주편집

  1. Kline, Morris (1990). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times》 [수학사상사] (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7. 

참고 문헌편집

  • Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2.