부분 행렬

(소행렬식에서 넘어옴)

선형대수학에서, 부분 행렬(部分行列, 영어: submatrix)은 주어진 행렬의 일부 행과 일부 열을 취한 더 작은 행렬이다. 소행렬식(小行列式, 영어: minor)은 부분 정사각 행렬행렬식이다. 부분 행렬과 그 행렬식은 라플라스 전개코시-비네 공식 등의 항등식에서 등장한다. 양의 정부호 행렬의 한 가지 필요충분조건도 부분 행렬의 행렬식을 통해 기술할 수 있다.

정의편집

  위의   행렬  과 그 행의 집합   및 열의 집합  에 대하여,   -부분 행렬

 

  에 속하는 행과  에 속하는 열을 취하여 원래의 순서대로 배열한   행렬이다. 즉, 만약

 
 

라고 하면, 이는 다음과 같다.

 

특히,

  •   에 대한 주부분 행렬(主部分行列, 영어: principal submatrix)은 부분 행렬  를 뜻한다.[1]:24, §1.3.3
  •    선행 주부분 행렬(先行主部分行列, 영어: leading principal submatrix)은 부분 행렬  를 뜻한다.[1]:24, §1.3.3
  •   번째 행벡터(行-, 영어: row vector)는  이다.
  •   번째 열벡터(列-, 영어: column vector)는  이다.

소행렬식과 여인자편집

가환환 성분의 행렬의 부분 정사각 행렬행렬식은 흔히 소행렬식이라고 부른다. 주부분 행렬의 행렬식은 주소행렬식(主小行列式, 영어: principal minor)이라고 하며, 선행 주부분 행렬의 행렬식은 선행 주소행렬식(先行主小行列式, 영어: leading principal minor)이라고 한다.

가환환   위의   정사각 행렬   및 크기가 같은 행과 열의 집합  에 대하여 ( ),   -소행렬식   에 속하는 행과  에 속하는 열을 제거한 부분 행렬의 행렬식이다.   -여인자   -소행렬식에 적절한 부호  를 추가한 것이다.

 
 

가환환   위의   정사각 행렬  여인자 행렬(餘因子行列, 영어: cofactor matrix)

 

는 각  -여인자

 

 -성분으로 하는   정사각 행렬이다.

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실수 3×3 행렬

 

에서 2번째 행과 1번째 열을 제거한 부분 행렬은

 

이다. 따라서 (2,1)-여인자는

 

이다.

응용편집

라플라스 전개편집

가환환   위의   정사각 행렬   및 행·열의 집합  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

코시-비네 공식편집

가환환   위의   행렬    행렬  에 대하여, 다음이 성립한다 ( ).

 

역행렬편집

가환환   위의   정사각 행렬  고전적 수반 행렬  은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 가역 행렬  역행렬은 고전적 수반 행렬과 행렬식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

양의 정부호성편집

에르미트 행렬  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

또한 다음 두 조건이 서로 동치이다.

참고 문헌편집

  1. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. 
  • Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크편집