각 원소 을 에 대한 단항식
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으로 표기하자.
위의 임의의 합동 관계 에 대하여, 인 들로 생성된 아이디얼을 라고 하고,
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임을 보이자. 는 자명하게 를 함의한다. 이제, 라고 가정하자. 그렇다면 은 유한 개의 서로 합동인 두 단항식의 차들의 합이다. 만약 이라면, 이므로 이다. 만약
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인 가 존재한다면, 이다. 이제
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인 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 이며, 이다. 만약 이거나 라면, 이다. 만약 이거나 라면, 편의상 라고 하자. 그렇다면, 이므로,
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이며, 따라서 이다. 이와 같은 과정을 반복하면 항상 임을 알 수 있다.
반대로, 임의의 아이디얼 에 대하여,
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는 자명하게 위의 합동 관계를 이룬다.
이에 따라, 위의 합동 관계는 의 아이디얼들과 일대일 대응하며, 또한 는 의 아이디얼들의 격자와 순서 동형이다. 특히, 힐베르트 기저 정리에 따라, 는 뇌터 환이므로, 의 아이디얼들은 오름 사슬 조건을 만족시키며, 따라서 역시 오름 사슬 조건을 만족시킨다.