힐베르트 기저 정리

가환대수학에서 힐베르트 기저 정리(Hilbert基底定理, 영어: Hilbert’s basis theorem, 독일어: Hilberter Basissatz 힐베르터 바지스자츠[*])는 뇌터 환을 계수로 하는 다항식환뇌터 환이라는 정리이다. 대수기하학에서, 이는 모든 아핀 대수 집합을 유한개의 대수 방정식들로 정의할 수 있음을 의미한다.

정의편집

 가 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환이라고 하고,   를 계수로 하는,  개의 부정원(不定元)에 대한 다항식환이라고 하자. 힐베르트 기저 정리에 따르면, 만약  뇌터 환이라면,  역시 뇌터 환이다.

응용편집

힐베르트 기저 정리는 대수기하학에서 핵심적인 역할을 한다.  라고 하자. 그렇다면  에 대한  차원 아핀 공간의 좌표환은  이다.

모든 체는 자명하게 뇌터 환이므로, 힐베르트 기저 정리에 따라서 아핀 공간의 좌표환 역시 뇌터 환을 이룬다. 아핀 대수 집합은 좌표환  의 아이디얼로 정의되는데, 뇌터 환에서는 모든 아이디얼이 유한생성되므로, 따라서 모든 아핀 대수 집합  는 유한개의 다항식들  이 모두 0이 되는 점들의 집합으로 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

 

힐베르트 기저 정리는 보통 귀류법으로 증명하기 때문에, 기저 정리로만은 이  들을 계산할 수 없으며, 이들을 계산하려면 그뢰브너 기저를 사용할 수 있다.

역사편집

다비트 힐베르트가 1890년에  인 경우를 증명하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Hilbert, David (1890). “Ueber die Theorie der algebraischen Formen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 36 (4): 473–534. doi:10.1007/BF01208503. ISSN 0025-5831. 

외부 링크편집