대수 구조 는 집합 와, 위의
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꼴의 함수들의 집합 의 순서쌍이다. 대수 구조 위의 합동 관계(영어: congruence relation) 는 다음 조건을 만족시키는, 위의 동치 관계이다.
- 모든 , 및 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 라면 이다.
대수 구조 위의 합동 관계들의, 함의에 따른 부분 순서 집합은 로 표기한다. 이는 의 동치 관계 격자 의 부분 격자를 이루며, 또한 이는 완비 격자이자 대수적 격자이다.[1]:37, Theorem 5.5
합동 관계의 동치 관계 조건을 반사 대칭 관계로 약화하면, 허용 관계의 개념을 얻는다.
군 는 이항 연산 , 일항 연산 , 영항 연산 이 정의되어 있는 대수 구조이다. 이 경우, 군 의 합동 관계는 의 정규 부분군과 일대일 대응한다. 합동 관계 에 대응하는 정규 부분군은
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이며, 반대로 정규 부분군 에 대응하는 합동 관계는
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이다.
유사환 은 이항 연산 와 , 일항 연산 , 영항 연산 이 정의된 대수 구조이다. 이 경우, 의 합동 관계는 의 아이디얼과 일대일 대응한다. 합동 관계 에 대응하는 아이디얼은
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이며, 반대로 아이디얼 에 대응하는 합동 관계는
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이다.
정수환 에서, 주 아이디얼 에 대응되는 합동 관계는 정수의 합동 이다.
군과 유사환과 같은 경우는 합동 관계가 부분 대수로 주어지지만, 일반적으로는 이는 그렇지 않다. 예를 들어, 모노이드 의 경우 합동 관계는 부분 모노이드로 정의되지 않는다.