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추상대수학에서, 합동 관계(合同關係, 영어: congruence relation)는 대수 구조의 몫 대수를 정의하는 동치 관계이다.

목차

정의편집

대수 구조  집합  와,   위의

 

꼴의 함수들의 집합  의 순서쌍이다. 대수 구조   위의 합동 관계(영어: congruence relation)  는 다음 조건을 만족시키는,   위의 동치 관계이다.

  • 모든  ,   에 대하여, 만약 모든  에 대하여  라면  이다.

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 이항 연산  , 일항 연산  , 영항 연산  이 정의되어 있는 대수 구조이다. 이 경우, 군  의 합동 관계는  정규 부분군일대일 대응한다. 합동 관계  에 대응하는 정규 부분군

 

이며, 반대로 정규 부분군  에 대응하는 합동 관계는

 

이다.

유사환  은 이항 연산   , 일항 연산  , 영항 연산  이 정의된 대수 구조이다. 이 경우,  의 합동 관계는  아이디얼과 일대일 대응한다. 합동 관계  에 대응하는 아이디얼은

 

이며, 반대로 아이디얼  에 대응하는 합동 관계는

 

이다.

정수환  에서, 주 아이디얼  에 대응되는 합동 관계는 정수의 합동  이다.

유사환과 같은 경우는 합동 관계가 부분 대수로 주어지지만, 일반적으로는 이는 그렇지 않다. 예를 들어, 모노이드  의 경우 합동 관계는 부분 모노이드로 정의되지 않는다.

참고 문헌편집

외부 링크편집