로슈미트 상수

로슈미트 상수 또는 로슈미트 수 (기호: n ₀ )는 주어진 부피에서 이상 기체의 입자 (원자 또는 분자)의 수(개수 밀도)로 일반적으로 표준 온도 및 압력에서 기술된다. 2014 과학 기술 데이터 위원회(CODATA)의 권장 값은 0 °C, 1 기압에서 세제곱미터당 2.6867811(15) ×10^²⁵ 이고, 한편 종전의 2006 CODATA 권장 값 은 0 °C, 1 기압에서 세제곱미터당 2.686 7774(47) ×10^²⁵이다. 이 값은 1865년에 분자의 물리적 크기를 처음으로 추정한 오스트리아의 물리학자인 요한 요제프 로슈미트의 이름을 따서 명명되었다. "로슈미트 상수"의 용어는 특히 독일어 텍스트에서 아보가드로 상수를 표기할 때 때때로 사용된다.

로슈미트 상수는 다음의 관계식,

$n_{0}={\frac {p_{0}}{k_{\rm {B}}T_{0}}}$

으로 주어지는데 여기서 p0는 압력_, k_B는 볼츠만 상수_, T₀는 열역학적 온도이다. 이 숫자는 아보가드로 상수 N _A 와 다음 식,

$n_{0}={\frac {p_{0}N_{\rm {A}}}{RT_{0}}}$

과 같이 관련되어 있는데 여기서 R은 기체 상수이다.

개수 밀도의 척도인 로슈미트 상수는 기체 및 기타 물질에 대한 실제의 개수 밀도 단위인 아마가트(amagat)를 아래와 같이

1 아마가트 = n ₀ = 2.6867811 ×10^²⁵ m ^-3 ,

로 정의할 때 사용하므로 로슈미트 상수는 정확히 1 아마가트가 된다.

현대적 결정

물리 상수에 대한 권장 값인 CODATA 세트에서 로슈미트 상수는 기체 상수와 아보가드로 상수로부터 계산된다.

$n_{0}={\frac {N_{\rm {A}}}{R}}{\frac {p_{0}}{T_{0}}}={\frac {A_{\rm {r}}({\rm {e}})M_{\rm {u}}c\alpha ^{2}}{2R_{\infty }hR}}{\frac {p_{0}}{T_{0}}}$

여기서 A_r (e)는 전자의 상대 원자 질량, M_u 는 몰 질량 상수, c는 빛의 속도, α는 미세 구조 상수, R_∞는 뤼드베리 상수, h는 플랑크 상수이다. 압력과 온도는 자유롭게 선택할 수 있는데 로슈미트 상수 값으로 인용해야 한다. 현재 알려진 로슈미트 상수의 정밀도는 전적으로 기체 상수 값의 불확실성에 의해 제한된다.

최초의 결정

로슈미트는 현재 그의 이름이 붙어 있는 상수 값을 실제로 계산하지 않았지만, 이 값은 그가 발표한 결과 등을 간단하고 논리적으로 조작한 결과에 의한 것이다. 제임스 클러크 맥스웰은 8년 후의 공개 강연에서 다음과 같은 용어로 그 논문을 설명했다.

로슈미트는 동역학 이론으로부터 다음과 같은 놀라운 비 값을 추론했다. 즉, 기체의 부피가 그 안에 포함된 모든 분자의 총 부피와 같듯이 분자의 평균 경로는 분자 직경의 1/8이다.

이 "놀라운 비 값"을 도출하기 위해 로슈미트는 맥스웰의 평균 자유 경로의 정의로부터 시작했다(이 페이지의 결과 값과 평균 자유 경로를 참조하는 페이지 간에는 불일치가 있는데, 여기에서는 추가적인 요소인 3/4이 들어 있다.

$\ell ={\frac {3}{4n_{0}\pi d^{2}}}$

여기서 n₀ 는 로슈미트 상수와 같은 의미로 단위 부피당 분자의 수인이며, d는 분자의 유효 직경(구형이라고 가정)이다. 이 식을 정리하면,

${\frac {1}{n_{0}}}={\frac {16}{3}}{\frac {\pi \ell d^{2}}{4}}$

이 되는데, 여기서 1/n₀ 은 기체 상태의 각 분자가 차지하는 부피이고 π ℓd ²/4는 두 충돌 사이의 궤적에서 분자가 만드는 실린더의 부피이다. 그런데 각 분자의 실제 부피는 πd ³/6으로 주어지므로 n₀πd ³/6은 분자 사이의 빈 공간을 제외한 모든 분자가 차지하는 부피이다. 로슈미트는 이 부피를 액화 가스의 부피와 동일시했다. 방정식의 양변을 n₀πd³/6으로 나누면 V_liquid / V_gas 의 인수를 도입하는 효과가 있는데, 로슈미트는 이 비값을 "응축 계수"라고 불렀고 실험적으로 측정할 수 있다. 이때 위 방정식은 다음의 식,

$d=8{\frac {V_{\rm {l}}}{V_{\rm {g}}}}\ell$

으로 간략하게 하여 기체 분자의 직경과 측정 가능한 현상과 관련지을 수 있다.

현재 로슈미트의 이름이 붙은 상수인 개수 밀도 값은 분자의 직경을 평균 자유 경로의 정의에 간단히 대입하고 재배열하면 구할 수 있다.

$n_{0}=\left({\frac {V_{\rm {g}}}{V_{\rm {l}}}}\right)^{2}{\frac {3}{256\pi \ell ^{3}}}$

로슈미트는 이러한 단계를 수행하지 않고 공기 분자의 평균 직경을 추정하기로 하였다. 응축 계수를 알 수 없어 추정해야 했는데 이는 사소한 작업이 아니었다. Raoul Pictet 과 Louis Paul Cailletet이 처음으로 질소를 액화하기까지는 12년이 더 걸렸다. 평균 자유 경로도 불확실했다. 그럼에도 불구하고 로슈미트는 약 1나노미터 직경에 도달했는데, 이 크기 값의 차수는 옳은 값이다.

공기에 대한 로슈미트의 추정 데이터 값, n ₀ = 1.81 ×10^²⁴ m^-3 이었다. 8년 후, 맥스웰은 cm ³ 당 "약 19 백만 백만 백만" 즉, 1.9 ×10^²⁵ m^-3 의 값을 언급했다.

같이 보기

• 아보가드로의 법칙