리만-후르비츠 공식

기하학과 복소해석학에서 리만-후르비츠 공식(영어: Riemann–Hurwitz formula)은 주어진 곡면 위의 분기 피복(ramified cover)의 오일러 지표에 대한 공식이다.

역사

베른하르트 리만과 아돌프 후르비츠가 증명하였다.

정의

두 콤팩트 리만 곡면 $S,T$ 사이에 정칙함수 $\pi \colon T\to S$가 존재한다고 하자. 이 함수가 $p\in T$에서 국소적으로 $z\mapsto z^{n}+O(z^{n+1})$ ($n>1$) 꼴일 경우, 이를 분기점(영어: ramified point)이라고 하고, $e_{p}=n$을 그 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다. $\pi$가 유한개의 분기점을 가지고, 분기점이 아닌 점에서는 국소 동형사상($N$중 피복 공간)이라고 하자. 그렇다면 두 리만 곡면의 오일러 지표 사이에 다음이 성립한다.

$\chi (T)=N\chi (S)-\sum _{p\in T}(e_{p}-1)$

여기서 $\sum _{p\in T}$는 $\pi$의 분기점들에 대한 합이다. 이 공식을 리만-후르비츠 공식이라고 한다.

이 공식에 따라서, 낮은 종수에서 높은 종수로 가는 분지 피복은 존재하지 않는다. 또한, 종수 0의 리만 곡면 위에는 분지점이 없는 피복은 존재하지 않는다.

예

바이어슈트라스 타원함수 $\wp (\cdot ,\Lambda )\colon \mathbb {C} /\Lambda \to {\hat {\mathbb {C} }}$는 타원곡선 $\mathbb {C} /\Lambda$에서 리만 구면으로 가는 정칙함수다. 이는 2중 피복이며, 또한 네 개의 분기 지표가 2인 분기점을 갖는다. 따라서

$0=2\cdot 2-4\cdot (2-1)$

이다.

리만 구면위에서 다음과 같은 정칙함수 ${\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}$, $z\mapsto z^{N}$을 생각하자 ($N>1$). 그렇다면 이는 $N$중 분지 피복이며, 그 분기점은

• $z=0$, 분지 지표 $n$
• $z={\widehat {\infty }}$, 분지 지표 $n$

이다. 따라서 리만-후르비츠 공식은

$2=N\cdot 2-(n-1)-(n-1)$

이다.

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크

• “Riemann-Hurwitz formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.