오일러 지표
대수적 위상수학과 조합론에서 오일러 지표(Euler指標, 영어: Euler characteristic)란 위상 공간 또는 그래프의 위상수학적 불변량의 하나인 정수다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없는 값이다. 오일러-푸앵카레 지표(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부른다. 기호는 그리스 문자 이다.
정의
편집사슬 복합체 의 호몰로지 가 모두 유한 계수를 갖는다고 하고, 또한 이 어떤 최저·최고 차수 밖에서는 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 사슬 복합체 의 오일러 지표 는 다음과 같은 정수이다.
위상 공간 의 오일러 지표 는 그 특이 사슬 복합체의 오일러 지표이다. CW 복합체 의 오일러 지표는 세포 사슬 복합체의 오일러 지표이다. 특히, 그래프나 다면체는 자연스럽게 CW 복합체를 이루므로, 오일러 지표를 조합론적으로 계산할 수 있다.
예
편집다면체
편집v를 꼭짓점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 는 다음과 같다.
오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 구와 위상동형이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.
이름 | 그림 | 꼭짓점 v |
모서리 e |
면 f |
오일러 지표: v - e + f |
---|---|---|---|---|---|
정사면체 | 4 | 6 | 4 | 2 | |
정육면체 | 8 | 12 | 6 | 2 | |
정팔면체 | 6 | 12 | 8 | 2 | |
정십이면체 | 20 | 30 | 12 | 2 | |
정이십면체 | 12 | 30 | 20 | 2 |
곡면
편집일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.
이름 | 그림 | 오일러 지표 |
---|---|---|
폐구간 | 1 | |
원 | 0 | |
원판(disk) | 1 | |
구 | 2 | |
토러스(Torus) (두 원의 곱집합) |
0 | |
이중 토러스 | -2 | |
삼중 토러스 | -4 | |
실사영평면(Real projective plane) | 1 | |
뫼비우스 띠 | 0 | |
클라인 병 | 0 | |
연결되지 않은 두 개의 구 (교점이 없는 두 구의 합집합) |
2 + 2 = 4 |
역사
편집레온하르트 오일러가 다면체에 대하여 정의하였다. 이후 이 개념은 대수적 위상수학을 통해 일반적인 위상 공간의 호몰로지에 대하여 일반화되었다.
같이 보기
편집참고 문헌
편집- Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.
외부 링크
편집- “Euler characteristic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler characteristic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.