멩거 스펀지

수학에서, 멩거 스펀지(또는 멩거 큐브,멩거 유니버셜 커브,시어핀스키 큐브,시어핀스키 스펀지)[1][2][3]프랙탈 곡선이다. 1차원 칸토어 집합에 이어서 2차원 시어핀스키 카펫을 3차원으로 일반화했다. 이것은 1926년에 카를 멩거(Karl Menger)에 의해 위상 차원의 개념에 대한 그의 연구에서 처음 묘사되었다.[4][5]

1/3분할을 반복하는 0단계,1단계,2단계,3단계의 멩거큐브
4회의 반복만으로 구현된 멩거 큐브

멩거 스펀지(Menger sponge)는 기존의 차원개념를 정수로 당연시 하던 고정관념에 실수차원이 존재한다는 사실을 증명하는 사례이다.

멩거큐브 단계편집

큐브의 단위 길이를 '1'로 둘경우 멩거 큐브내에서  분할로 3등분하는 단계적 반복으로 증가하는 빈공간의 정육면체의 개수와 빈공간으로 인해 증가하는 큐브의 면적 그리고 상대적으로 줄어드는 부피와의 관계는 아래와 같다.


길이:  
프랙털 차원  차원이다.
단계 정육면체-빈공간 정육면체 개수= 남은 정육면체 겉넓이 부피 이미지
0        
1    

 

   
2    

 

   
3        
       
총 부피 =부피 x 개수
 
멩거큐브2단계만으로 멩거큐브는 단위정육면체(멩거큐브0단계)면적의 2배를 넘어서며, 부피에서  배에 접근한다.

같이 보기편집

참고편집

  1. Beck, Christian; Schögl, Friedrich (1995). 《Thermodynamics of Chaotic Systems: An Introduction》 (영어). Cambridge University Press. 97쪽. ISBN 9780521484510. 
  2. Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). 《Fractals in Science》 (영어). Springer. 7쪽. ISBN 9783642779534. 
  3. Menger, Karl (2013). 《Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium》 (영어). Springer Science & Business Media. 11쪽. ISBN 9789401111027. 
  4. Menger, Karl (1928), 《Dimensionstheorie》, B.G Teubner Publishers 
  5. Menger, Karl (1926), “Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.”, 《Communications to the Amsterdam Academy of Sciences》 . English translation reprinted in Edgar, Gerald A., 편집. (2004), 《Classics on fractals》, Studies in Nonlinearity, Westview Press. Advanced Book Program, Boulder, CO, ISBN 978-0-8133-4153-8, MR 2049443