하우스도르프 차원

기하학에서 하우스도르프 차원(영어: Hausdorff dimension)은 거리 공간의 부분집합의 차원을 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것이다. 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다.

그레이트브리튼 섬 해안선의 하우스도르프 차원의 근사값을 구하는 방법.

개념

집합 $S$와 반지름 $r$이 주어졌을 때, $S$를 $N(r)$개의 공으로 덮을 수 있다고 하자. 하우스도르프 차원 $d$는 $r$이 $0$으로 갈 때 $N(r)$가 $r^{-d}$로 수렴하게 만드는 유일한 실수 $d$를 말한다.

정의

거리 공간 $X$의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf {\left\{d\geq 0:\operatorname {H} ^{d}(X)=0\right\}}$

(단, $\operatorname {H} ^{d}(X)$는 $X$의 $d$차원에서의 하우스도르프 측도.)

예

• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 하우스도르프 차원은 $n$이다.
• 원 $S^{1}$의 하우스도르프 차원은 1이다.
• 가산 집합의 하우스도르프 차원은 0이다.
• 칸토어 집합은 자기 자신과 닮았고 크기가 ⅓인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 $\log 2/\log 3\approx 0.63$이다.
• 시에르핀스키 삼각형은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 $\log 3/\log 2\approx 1.58$이다.
• 멩거 스펀지는 $\ln 20/\ln 3\approx 2.73$ 차원이다.

같이 보기

• 프랙탈 차원