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하우스도르프 차원

그레이트브리튼 섬 해안선의 하우스도르프 차원의 근사값을 구하는 방법.

기하학에서, 하우스도르프 차원(영어: Hausdorff dimension)은 거리 공간의 부분집합의 차원자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것이다. 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다.

개념편집

집합  와 반지름  이 주어졌을 때,   개의 으로 덮을 수 있다고 하자. 하우스도르프 차원    으로 갈 때   로 수렴하게 만드는 유일한 실수  를 말한다.

정의편집

거리 공간  의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

 

(단,    차원에서의 하우스도르프 측도.)

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  • 유클리드 공간  의 하우스도르프 차원은  이다.
  •  의 하우스도르프 차원은  이다.
  • 가산 집합의 하우스도르프 차원은  이다.
  • 칸토어 집합은 자기 자신과 닮았고 크기가 ⅓인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은  이다.
  • 시에르핀스키 삼각형은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은  이다.
  • 멩거 스펀지  차원이다.

같이 보기편집