멱영군

군론에서 멱영군(冪零群, 영어: nilpotent group, 문화어: 제곱령군)은 아벨 군에 가까운 군이다. 구체적으로, 충분히 많은 수의 교환자를 취하면 단위원이 되는 군이다.

정의

군 $G$의 하중심렬(下中心列, 영어: lower central series)

$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright G_{2}\triangleright \cdots$

은 다음과 같다.

$G_{0}=G$

$G_{n+1}=[G_{n},G]$

군 $G$의 상중심렬(上中心列, 영어: upper central series)

$1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft Z_{2}\triangleleft \cdots$

은 다음과 같다.

$Z_{0}=1$

$Z_{n+1}=\{x\in G\colon [x,G]\subset Z_{n}\}$

상중심렬에서 $Z_{1}$은 군 $G$의 중심 $Z(G)$이다.

임의의 군 $G$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다. 멱영군은 이 조건을 만족시키는 군이다.

• 하중심렬이 유한하다. 즉, $G_{n+1}=1$인 음이 아닌 정수 $n$이 존재한다.
• 상중심렬이 유한하다. 즉, $Z_{n+1}=G$인 음이 아닌 정수 $n$이 존재한다.

이를 만족하는 가장 작은 $n$이 주어지면, $G$를 n류 멱영군(영어: nilpotent group of class n)이라고 한다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아벨 군 ⊊ 데데킨트 군 ⊊ 멱영군 ⊊ 가해군

즉, 모든 아벨 군 및 데데킨트 군은 멱영군이며, 모든 멱영군은 가해군이다.

예

• 아벨 군은 0류 멱영군이다.
• 사원수군 $Q_{8}$은 2류 멱영군이다.
• 유한 개의 멱영군의 직접곱은 멱영군이다.
• 모든 유한 멱영군은 p-군 (단위원이 아닌 모든 원소의 계수(order)가 소수 p인 군)의 직접곱으로 나타낼 수 있다.

참고 문헌

• Hungerford, Thomas Gordon (1974). 《Algebra》 (영어). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9. 
• Von Haeseler, Friedrich (2002). 《Automatic Sequences》. De Gruyter Expositions in Mathematics (영어) 36. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6. 
• Isaacs, I. Martin (2008). 《Finite group theory》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3. 
• Tabachnikova, Olga; Geoff Smith (2000). 《Topics in group theory》. Springer Undergraduate Mathematics Series (영어). Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2. 

외부 링크

• “Nilpotent group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nilpotent group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Nilpotent group”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Nilpotent group”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 가해군
• 멱영 리 대수
• 멱영 행렬