주 메뉴 열기
사원수군을 도식화한 그림. 각 색깔은 사원수군의 어떤 원소든지 거듭하여 연산을 하면 항등원(1로 표기)이 된다는 것을 보여주고 있다. 예를 들어, 붉은색으로 표시된 부분은 i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1이라는 것을 설명한다. 또한 (-i)2 = -1, (-i)3 = i, (-i)4 = 1이라는 것도 알 수 있다.

군론에서, 사원수군(四元數群, 영어: quaternion group)은 단위 사원수 i, j, k로 생성되는 유한군이다.

정의편집

사원수군은 원소의 개수가 8개인 비아벨 군이다. 사원수군은 흔히 Q로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

여기에서 1은 항등원을 나타내며 (-1)2 = 1이 성립한다. 또한 Q의 임의의 원소 a에 대해 (-1)a = a(-1) = -a가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

 

사원수군의 군 표(Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1

표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ij = -ji이다.

행렬 표현편집

사원수군은 GL2(C)의 부분군으로 나타낼 수 있다.[1]  의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다.        

여기에서  허수 단위이다.

성질편집

자기 동형편집

사원수군의 중심 이며, 사원수군의 교환자 부분군 역시  이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 클라인 4원군  이다.

사원수군의 자기 동형군은 4차 군론  이다. 외부 자기 동형군은  이다.

부분군편집

사원수군의 부분군은 (자명군과 스스로를 포함하여) 총 6개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

  • 크기 8:  
  • 크기 4:  . 이들은 모두 4차 순환군  와 동형이다. 이에 대한 몫군은 2차 순환군이다.
  • 크기 2:  . 이는 2차 순환군과 동형이다. 이에 대한 몫군은 클라인 4원군과 동형이다.
  • 크기 1: 자명군  

이들은 모두 정규 부분군이다. 즉, 사원수군은 데데킨트 군을 이룬다.

각주편집

  1. Thomas W. Hungerford. 《Algebra》. Springer-Verlag. 33쪽. 

같이 보기편집