주 메뉴 열기

리 군론에서, 멱영 리 대수(冪零Lie代數, 영어: nilpotent Lie algebra)는 유한한 길이의 내림 중심열을 갖는 리 대수이다.

목차

정의편집

가환환   위의 리 대수  내림 중심렬(-中心列, 영어: lower central series)은 다음과 같다.

 
 
 

만약 어떤 자연수  에 대하여  이라면,  멱영 리 대수라고 한다. ( 은 유일한 0차원 리 대수이다.) 즉, 다음 명제가 성립하는 자연수  이 존재해야 한다.

 

가환환   위의 리 대수  가 다음 조건을 만족시킨다면, 엥겔 조건 리 대수(영어: Engel condition Lie algebra)라고 하자.

 가 되는 함수  가 존재한다.

멱영 리 군편집

 라고 하자. 리 군  의 리 대수가  -리 대수  라고 할 때, 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:105

성질편집

멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다.

포함 관계편집

임의의 가환환  에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

 -아벨 리 대수 -멱영 리 대수 ⊆  -가해 리 대수 -리 대수
 -멱영 리 대수 ⊆  -엥겔 조건 리 대수 ⊆  -리 대수

엥겔 정리에 따르면, (임의의 표수의)   위의 유한 차원 엥겔 조건 리 대수는 항상 멱영 리 대수이다.[1]:46, Theorem 1.35

연산에 대한 닫힘편집

멱영 리 대수의 모든 부분 리 대수는 멱영 리 대수이다. 멱영 리 대수의 모든 몫 리 대수 역시 멱영 리 대수이다.

편집

 에 대하여, 다음과 같은   정사각 행렬들의 집합을 생각하자.

 

즉, 대각 성분이 0인 상삼각 행렬의 집합이다. 이는  의 부분 리 대수를 이루며, 또한 멱영 리 대수이다. 구체적으로,   번째 내림 중심열은 0이다. 엥겔 정리에 따라서, 모든 멱영 리 대수는 충분히 큰  에 대한  의 부분 리 대수로 나타낼 수 있다.

역사편집

엥겔 정리는 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 1890년 7월 20일 빌헬름 킬링에게 보낸 편지에서 대략적으로 증명하였다. 이후 엥겔의 제자 카를 아르투어 움라우프(독일어: Karl Arthur Umlauf)가 1891년 박사 학위 논문에서 이 정의의 완전한 증명을 제시하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. 
  2. Umlauf, Karl Arthur (1891). 《Über die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen, insbesondre der Gruppen vom Range Null》 (독일어). 라이프치히 대학교 박사 학위 논문. 라이프치히: Druck von Breitkopf & Härtel. 

외부 링크편집

같이 보기편집