호모토피 이론에서 멱영 공간(冪零空間, 영어: nilpotent space)은 기본군멱영군이며 고차 호모토피 군에 특별히 간단하게 작용하는 위상 공간이다. 멱영 공간의 경우 유리수 호모토피 이론을 깔끔하게 전개할 수 있다.

정의 편집

점을 가진 공간  가 주어졌다고 하자. 이 경우, 기본군  은 고차 호모토피 군   위에 다음과 같이 작용한다. 우선,  쌍대올뭉치이므로, 호모토피 확장 성질을 사용하여 임의의 경로

 
 
 

및 호모토피 군의 원소

 
 

에 대하여 호모토피류

 
 

를 유일하게 정의할 수 있다. 만약  인 경우 위와 같은 경로의 호모토피류기본군  의 원소이므로, 이는 군의 작용

 

을 정의한다.

주어진 점을 가진 공간  에서, 만약 각  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 유한한 길이의 호모토피 군 중심열

 

이 존재한다면,  멱영 공간이라고 한다.

  • 임의의   에 대하여,  이다. 즉,    위의 작용은 자명하다.

(특히,  인 경우의 조건은 기본군  멱영군인 것이다.)

마찬가지로, 주어진 점을 가진 공간  에서, 만약 기본군  의, 임의의 차수 호모토피 군에 대한 작용이 모두 자명하다면,  단순 공간(單純空間, 영어: simple space)이라고 한다. (특히,  인 경우의 조건에 따라 기본군  아벨 군이어야 한다.)

성질 편집

모든 단순 공간은 멱영 공간이다. 단일 연결 공간은 (기본군자명군이므로) 항상 단순 공간이다.

역사 편집

에마누엘 드로르 파르준(히브리어: עִמָּנוּאֵל דְרוֹר פַרְג׳וּן, 영어: Emmanuel Dror Farjoun)이 도입하였다.[1]

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홀수 차원 실수 사영 공간은 멱영 공간이다. 그러나 (예를 들어) 실수 사영 평면은 멱영 공간이 아니다.

참고 문헌 편집

  1. Dror, Emmanuel (1971). 《A generalization of the Whitehead theorem》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 249. Springer-Verlag. Zbl 0243.55018. 

외부 링크 편집