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R2의 점 A에서 점 B로의 경로. 일반적으로 두 점을 잇는 경로는 여러 개가 있다.

일반위상수학에서, 위상 공간 X 속의 경로(經路, 영어: path 패스[*])는 폐구간 로부터 로 가는 연속함수이다.

정의편집

 위상 공간이라고 하자.   속의 경로연속 함수  이다. 여기서  은 표준적인 위상을 가진 폐구간이다. f(0)을 경로의 시작점(initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 끝점(terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 고리(영어: loop)라고 한다.

여기에서 주의할 점은, 경로란 단순히 '곡선과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 실직선의 f(x) = x와 g(x) = x2은 서로 다른 경로다.

유클리드 공간의 경로편집

유클리드 공간  에서 정의되는 경로 로 정의되는 사상이다. 이러한 경로  에 대해서   에서 변할 때 점  들의 집합  곡선이라 하고   곡선  의 끝점이라고 한다. 이때 경로  곡선  를 매개변수화 한다고 한다. 만약  이라면  으로 나타낼 수 있는데 이때  ,  ,  들을 각각 경로  의 성분함수들이라고 한다. 3이 아닌 n에 대해서도 같은 방식으로 정의한다.

속도와 속력편집

만약 경로  미분 가능하다면 매  에서의 속도는 다음과 같이 정의된다.

 

보통 그림으로 나타낼 때는 경로  가 매개변수화 하는 곡선  의 각 점을 시작점으로 속도벡터를 그린다. 이때 그 지점에서의 속력속도벡터의 크기, 즉  로 정의한다. 만약  이라면  으로 나타날 것이고 어떤 점  에서의 속도연쇄법칙에 의하여  이며 속력은 이 벡터의 크기인  이다.

접벡터와 접선편집

속도벡터   일 때 경로  와 접한다. 만약  이라면  는 경로  로 매개변수화된 곡선   에서의 접벡터이다. 그리고  로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선 에서의 접선이라고 한다. 이 직선은 다음과 같은 경로  로 매개변수화 되어있다.

 

참고 문헌편집

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.