버코프-그로텐디크 정리

수학에서 버코프-그로텐디크 정리(영어: Birkhoff–Grothendieck theorem)는 복소 사영 직선 위의 정칙 벡터 다발을 분류한다. 특히 $\mathbb {CP} ^{1}$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 정칙 선다발들의 직합이다. 정리는 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 증명^[1]했다. 이는 조지 버코프가 1909에 도입한 버코프 인수분해와 거의 동일하다.^[2]

진술 편집

보다 정확하게 정리의 진술은 다음과 같다.

모든 $\mathbb {CP} ^{1}$ 위의 정칙 벡터 다발 ${\mathcal {E}}$ 는 선다발의 직합과 정칙 동형이다:

{\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).

표기법은 각 합이 자명한 다발의 세르 꼬임임을 의미한다. 표현은 순열을 기준으로 유일하다.

일반화 편집

임의의 체 $k$ 에 대해 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 위의 대수적 벡터 다발에 대한 대수 기하학에서도 동일한 결과가 성립한다.^[3] 그것은 또한 하나 또는 두 개의 오비폴드 점을 가진 $\mathbb {P} ^{1}$ 에서도, 꼭지점을 따라 만나는 사영 직선 사슬에 대해서도 성립한다.^[4]

응용 편집

이 정리로부터 모든 $\mathbb {CP} ^{1}$ 위의 연접층의 분류 할 수 있다.. 부분 다형체를 따라 지지되는 벡터 다발과 연접층 ${\mathcal {O}}(k),{\mathcal {O}}_{nx}$ 두 가지 경우가 있다. 여기서 n은 $x\in \mathbb {CP} ^{1}$ 에서 두터운 점의 차수이다. 유일한 부분 다형체는 점이므로 연접층의 완전한 분류가 가능하다.

같이 보기 편집

참고 문헌 편집

↑ Grothendieck, Alexander (1957). “Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann”. 《American Journal of Mathematics》 79 (1): 121–138. doi:10.2307/2372388. JSTOR 2372388. S2CID 120532002.
↑ Birkhoff, George David (1909). “Singular points of ordinary linear differential equations”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 10 (4): 436–470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594.
↑ Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. (1982). “A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line”. 《Journal of Pure and Applied Algebra》 25 (2): 207–211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8.
↑ Martens, Johan; Thaddeus, Michael (2016). “Variations on a theme of Grothendieck”. 《Compositio Mathematica》 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112/S0010437X15007484. S2CID 119716554.

추가 읽기 편집

Okonek, Christian; Schneider, Michael; Spindler, Heinz (1980). 《Vector Bundles on Complex Projective Spaces》. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Basel. doi:10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN 978-3-0348-0150-8.
Salamon, S. M.; Burstall, F. E. (1987). “Tournaments, Flags, and Harmonic Maps”. 《Mathematische Annalen》 277 (2): 249–266. doi:10.1007/BF01457363.

외부 링크 편집

로만 베즈루카브니코프. 18.725 대수 기하학 ( LEC # 24 Birkhoff–Grothendieck, Riemann-Roch, Serre Duality ) 2015년 가을. 매사추세츠 공과대학: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.

[1] Grothendieck, Alexander (1957). “Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann”. 《American Journal of Mathematics》 79 (1): 121–138. doi:10.2307/2372388. JSTOR 2372388. S2CID 120532002.

[2] Birkhoff, George David (1909). “Singular points of ordinary linear differential equations”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 10 (4): 436–470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594.

[3] Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. (1982). “A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line”. 《Journal of Pure and Applied Algebra》 25 (2): 207–211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8.

[4] Martens, Johan; Thaddeus, Michael (2016). “Variations on a theme of Grothendieck”. 《Compositio Mathematica》 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112/S0010437X15007484. S2CID 119716554.

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