K이론

수학에서 K이론(K理論, 영어: K-theory)은 위상 공간 또는 스킴 위에 존재하는 벡터다발 또는 연접층을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상 공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다. 기하학과 위상수학, 대수학, 수론과 관련있다. 수학 분야 분류(MSC 2010) 코드는 19.

정의편집

K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 (그로텐디크 군을 취하면) 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 K군(K群, 영어: K-group)이라고 하고, $K_{n}(M)$ 과 같이 쓴다. 여기서 $M$ 은 다루는 기하학적 대상이고, $n$ 은 대략 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. $K_{n}$ 은 아벨 군의 범주로의 함자를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 작용소 K이론 등이 있다. 위상 K이론은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 벡터다발들을 다룬다. 대수적 K이론은 환 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다. (이는 스킴 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 연접층으로 생각할 수 있다.) 작용소 K이론은 C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 비가환 기하학을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 에일렌베르크-스틴로드 공리에 따라, 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 코호몰로지의 성질들을 만족시킨다.

역사편집

K이론은 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 리만-로흐 정리와 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 확장한 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 독일어: Klasse 클라세^[*]의 약자로, 특성류를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 대수적 K이론에서의 $K_{0}$ 에 해당한다.

곧 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1959년에 위상 K이론을 창시하였다.

1973년에 대니얼 퀼런이 고차 대수적 K군( $K_{3}$ , $K_{4}$ , …)을 정의하였다.^[1]

1997년에는 끈 이론의 D-막들이 시공간의 위상 K이론으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.^[2]^[3]^[4]^[5]

참고 문헌편집

↑ Quillen, Daniel (1973). 〈Higher algebraic K-theory: I〉. 《Higher K-theories: Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 341. Berlin, New York: Springer. 85–147쪽. doi:10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3. ISSN 0075-8434. MR 0338129.
↑ Olsen, Kasper; Richard J. Szabo (1999). “Constructing D-branes from K-theory”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 3: 889–1025. arXiv:hep-th/9907140. Bibcode:1999hep.th....7140O.
↑ Witten, Edward (2001). “Overview of K-theory applied to strings”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 16 (5): 693–706. arXiv:hep-th/0007175. Bibcode:2001IJMPA..16..693W. doi:10.1142/S0217751X01003822. ISSN 0217-751X.
↑ Evslin, Jarah (2006). “What does(n’t) K-theory classify?” (영어). arXiv:hep-th/0610328. Bibcode:2006hep.th...10328E.
↑ Szabo, Richard J. (2008). “D-branes and bivariant K-theory” (영어). arXiv:0809.3029. Bibcode:2008arXiv0809.3029S.

Atiyah, Michael (2001). 〈K-theory past and present〉. 《Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Jahrgänge 1997–2000》 (영어). Berlin: Berliner Mathematische Gesellschaft. 411–417쪽. arXiv:math/0012213. Bibcode:2000math.....12213A. MR 2091892. Zbl 1061.19500.
Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory” (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.
Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological K-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological K-theory》. Springer Lecture Notes in Mathematics (영어) 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. arXiv:0903.3983. Bibcode:2009arXiv0903.3983C. doi:10.1007/978-3-642-15708-0_3. ISBN 978-3-642-15707-3. MR 2762555. Zbl 1216.19002.
Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 145. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl pre06123945.
Karoubi, Max (2008). 《K-theory: an introduction. Reprint of the 1978 edition with a new postface by the author and a list of errata》. Classics in Mathematics (영어). Berlin, New York: Springer. ISBN 978-3-540-79889-7. MR 2458205. Zbl 1153.55005.
Karoubi, Max (2010). 〈K-theory. An elementary introduction〉. 《Cohomology of groups and algebraic K-theory. Selected papers of the international summer school on cohomology of groups and algebraic K-theory, Hangzhou, China, July 1–3, 2007》. Advanced Lectures in Mathematics (영어) 12. International Press. 197–215쪽. arXiv:math/0602082. Bibcode:2006math......2082K. ISBN 978-1-57146-144-5. MR 2655179. Zbl 1196.19001.
Brodzki, Jacek (1996). “An introduction to K-theory and cyclic cohomology” (영어). arXiv:funct-an/9606001. Bibcode:1996funct.an..6001B.
Karoubi, Max (2008). “Twisted K-theory — old and new” (영어). arXiv:math/0701789. Bibcode:2007math......1789K. MR 2513335. Zbl 1180.19003.
Baum, Paul F.; Rubén J. Sánchez-García (2009). “K-theory for group C*-algebras” (영어). arXiv:0908.1066. Bibcode:2009arXiv0908.1066B.
Freed, Daniel S. (2002). “K-theory in quantum field theory” (영어). arXiv:math-ph/0206031. Bibcode:2002math.ph...6031F.

외부 링크편집

Weisstein, Eric Wolfgang. “K-theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[1] Quillen, Daniel (1973). 〈Higher algebraic K-theory: I〉. 《Higher K-theories: Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 341. Berlin, New York: Springer. 85–147쪽. doi:10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3. ISSN 0075-8434. MR 0338129.

[2] Olsen, Kasper; Richard J. Szabo (1999). “Constructing D-branes from K-theory”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 3: 889–1025. arXiv:hep-th/9907140. Bibcode:1999hep.th....7140O.

[3] Witten, Edward (2001). “Overview of K-theory applied to strings”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 16 (5): 693–706. arXiv:hep-th/0007175. Bibcode:2001IJMPA..16..693W. doi:10.1142/S0217751X01003822. ISSN 0217-751X.

[4] Evslin, Jarah (2006). “What does(n’t) K-theory classify?” (영어). arXiv:hep-th/0610328. Bibcode:2006hep.th...10328E.

[5] Szabo, Richard J. (2008). “D-branes and bivariant K-theory” (영어). arXiv:0809.3029. Bibcode:2008arXiv0809.3029S.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]