볼록 조합

볼록 기하학에서 볼록 조합은 점(이것은 벡터나 스칼라 또는 더 일반적으로 아핀 공간의 점이 될 수 있다)들의 모든 계수가 음이 아니고 합이 1이 되는 선형 결합이다.

그림에 나타난 평면의 세 점 $x_{1},x_{2},x_{3}$가 주어졌을 때, 점 $P$는 세 점의 볼록 조합이지만 $Q$는 아니다.
(하지만 세 점의 아핀 폐포는 평면 전체이기 때문에, $Q$는 세 점의 아핀 조합이다.)

더 형식적으로, 실수 벡터 공간의 유한한 점들 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$이 주어졌을 때, 이 점들의 볼록 조합은 다음 형태의 점이다:

$\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}$

이 때 실수 $\alpha _{i}$는 $\alpha _{i}\geq 0$과 $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1$을 만족한다.

특정한 예시로, 두 점의 모든 볼록 조합은 그 점 사이의 선분에 있다.

주어진 점의 볼록 폐포는 그 모든 볼록 조합의 집합과 동일하다.

선형 결합에 대해서 닫혀있지 않지만 볼록 조합에서 닫혀있는 벡터공간의 부분집합이 존재한다. 예를 들어, 구간 $[0,1]$은 볼록하지만 선형 조합에서는 수직선 전체를 만든다. 다른 예는 선형 조합이 음이 아닌 특성과 아핀성을 보존할 수 없는 확률 분포의 볼록 집합이다(즉, 전체 적분을 취하는 것).

다른 대상

• 유사하게, 확률 분포 $X$의 볼록 조합 $Y_{i}$는 다음 확률 밀도 함수를 가지고 유한 혼합 분포라고 불리는 그 원소의 확률 분포의 가중 합이다:

$f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{Y_{i}}(x)$

관련 구성

• 원뿔 조합은 음이 아닌 계수의 선형 조합이다. 점 $x$가 변위 벡터를 정의하기 위한 기준 원점으로 사용되었다면, $x$는 $n$ 개의 점 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$의 볼록 조합이다. 즉, 영변위는 그 $n$ 개의 $x$에 대한 상대 변위 벡터의 자명하지 않은 원뿔 조합이다.
• 가중 평균은 기능적으로는 볼록 조합과 같지만 다른 표기를 사용한다. 가중 평균의 계수(가중치) 합이 1일 필요는 없다; 대신에 합은 명시적으로 선형 조합과 분리된다.
• 아핀 조합은 볼록 조합과 유사하지만, 계수는 음이 아닐 필요는 없다. 따라서 아핀 조합은 모든 체의 벡터공간에 정의된다.

같이 보기

• 아핀 폐포
• 카라테오도리의 정리 (볼록 폐포)
• 볼록 폐포
• 단체 (수학)
• 무게 중심 좌표계