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비트 벡터

(비트 벡터 환에서 넘어옴)

가환대수학에서, 비트 벡터 환(Witt vector環, 영어: ring of Witt vectors)은 주어진 가환환 속의 들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. p진 정수환의 일반화이다.

정의편집

비트 다항식(영어: Witt polynomial)들은 다음과 같은 다항식열이다.

 

가환환  가 주어졌을 때,   속의 의 집합   위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

 
 

그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들

 
 

이 유일하게 존재한다.

  •   를 정의하였을 때,  을 이룬다. 이 환을  이라고 하자.
  •  환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역  가환환  의 가산 무한 개 직접곱이다.

이 가환환을   계수의 비트 벡터 환(영어: ring of Witt vectors with coefficients in  )이라고 한다.

비트 벡터 환은 가환환범주 위의 자기 함자를 이룬다.

 

p-비트 벡터편집

가환환  와 집합

 

이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

 

(즉,  는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형

 

에서, 아이디얼

 

원상

 

을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를   계수의  -비트 벡터 환(영어: ring of  -Witt vectors with coefficients in  )이라고 한다. (그러나 이는  의 항등원을 포함하지 않으므로,  부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형

 

이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다.

 

특히, 소수  에 대하여,  일 경우를   계수의  -비트 벡터 환(영어: ring of  -Witt vectors with coefficients in  )이라고 한다. 또한, 소수   및 양의 정수  에 대하여,  일 경우를   계수의 길이   -비트 벡터 환(영어: ring of  -Witt vectors of length   with coefficients in  )이라고 한다.

구체적으로, p-비트 벡터의 연산은 다음과 같다.

 
 

성질편집

 -비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형

 

및 유일한 환 준동형

 

을 생각하자.

  • 만약  이라면 (즉,  의 모든 원소들이  에서 가역원이라면),  전단사 함수이다.
  • 만약  가 모두 영인자가 아니라면,  단사 함수이다.

가환환   위의 비트 벡터  는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.

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만약  일 경우,  이다.

p진 정수편집

소수  에 대하여, 유한체   위의  -비트 벡터 환은  진 정수환  과 동형이다.

구체적으로,  진 정수환  타이히뮐러 대표원의 집합은 0 및   속의 1의  제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다.

 

(이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상

 

아래

 

전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체  로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든  진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다.

 

그렇다면,  진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

역사편집

에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수  의 체 위의  순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

외부 링크편집