1의 거듭제곱근

수학에서, 1의 거듭제곱근(영어: root of unity)은 거듭제곱하여 1이 되는 복소수이다. 즉, 0이 아닌 복소수의 곱셈군의 꼬임 부분군이다.

1의 5제곱근들과 정오각형의 꼭지점들

정의

1의 n제곱근(영어: nth root of unity)은 그 n제곱이 1인 복소수이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$\exp(2\pi ik/n)\;(k=0,1,2,\dots ,n-1)$

1의 n제곱근은 n개가 있다.

보다 일반적으로, 체 $K$의 1의 거듭제곱근은 그 곱셈군 $K^{\times }=K\setminus \{0\}$의 꼬임 부분군이다. 예를 들어, 유리수체에서 1의 거듭제곱근은 ±1밖에 없다.

복소근의 성질

$1$의 $n$제곱근 들은 $n$차 방정식의 해 들에서 복소근(roots of complex number)으로 상관관계를 갖게된다.

드 무아브르의 수로 잘알려진 이항방정식 $x^{n}=1$으로부터 얻어지는 $1$의 $n$제곱근들은 단위원상에서 기하학적으로도 확인된다.

같이 보기

• 원분체
• 원군
• 프뤼퍼 군
• 드 무아브르의 정리
• 이항 방정식

참고

• 매스월드