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체론에서, 유한체(有限體, 영어: finite field) 또는 갈루아 체(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 이다.

목차

정의편집

유한체유한 집합이다.

유한체는 항상 양의 표수  를 갖는다 ( 는 소수). 표수가  인 유한체의 크기는 항상  거듭제곱이다. 즉, 의 꼴이다 ( ). 크기가  인 유한체는   또는  이라고 쓴다. 크기가 같은 유한체는 서로 동형이다.

구성편집

크기가  인 유한체  은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선,  는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군  이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 p-합동류이다.

 은 다음과 같이 정의할 수 있다.    계수를 가진 n기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서

 

이다. 여기서   로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다.

성질편집

유한체는 순서체가 될 수 없다.  에서는

 

이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식

 

을 만족시킬 수 없다.

프로베니우스 자기 동형 사상편집

유한체  은 다음과 같은 꼴의  개의 자기 동형 사상  을 가진다. 이를 프로베니우스 자기 동형 사상이라고 한다. 이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다.

 
 

물론  이 된다.

따라서, 유한체  자기동형군순환군  이다.

포함 관계편집

만약  이라면, 자연스러운 포함 관계

 

가 존재한다. 이에 따라 표수 p의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다.

 

이렇게 얻은 체  는 임의의 n에 대하여  대수적 폐포이다.

 

이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서  에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환  사유한 완비

 

이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.

덧셈군과 곱셈군편집

유한체의 가역원군  은 항상 순환군이다.

 

유한체  의 덧셈군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

 

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비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.

𝔽2편집

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1

𝔽3편집

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

𝔽4편집

이 경우 기약 일계수 다항식  를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

아래 표에서는  ,  로 표기한다.

+ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0
× 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A

참고 문헌편집

외부 링크편집