기본 대칭 다항식
e
i
∈
Z
[
x
1
,
…
,
x
n
]
∀
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle e_{i}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,n\}}
e
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
1
≤
j
1
<
j
2
<
⋯
<
j
i
≤
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
j
{\displaystyle e_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{j}}}
을 정의하자.
다항식
P
n
∈
Z
[
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
]
∀
n
∈
N
{\displaystyle P_{n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
P
m
,
n
∈
Z
[
x
1
,
…
,
x
m
n
]
∀
m
,
n
∈
N
{\displaystyle P_{m,n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{mn}]\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} }
은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.[1] :8, §2.1
∑
n
P
n
(
e
1
(
x
→
)
,
…
,
e
n
(
x
→
)
,
e
1
(
y
→
)
,
…
,
e
n
(
y
→
)
)
t
n
=
∏
i
,
j
=
1
n
(
1
+
x
i
y
j
t
)
∈
Z
[
t
,
x
→
,
y
→
]
{\displaystyle \sum _{n}P_{n}\left(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {y}}),\dots ,e_{n}({\vec {y}})\right)t^{n}=\prod _{i,j=1}^{n}(1+x_{i}y_{j}t)\in \mathbb {Z} [t,{\vec {x}},{\vec {y}}]}
∑
m
P
m
,
n
(
x
1
,
…
,
x
m
n
)
t
m
=
∏
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
n
≤
m
n
(
1
+
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
n
t
)
∈
Z
[
t
,
x
1
,
…
,
x
m
n
]
{\displaystyle \sum _{m}P_{m,n}(x_{1},\dots ,x_{mn})t^{m}=\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq mn}(1+x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{n}}t)\in \mathbb {Z} [t,x_{1},\dots ,x_{mn}]}
여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.
x
→
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
y
→
=
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}
람다 환 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1] :7, Definition 2.1 [2] :§16.4 [3] :7, Definition 1.10
가환환
R
{\displaystyle R}
각 자연수(음이 아닌 정수)
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여, 함수
λ
n
:
R
→
R
{\displaystyle \lambda ^{n}\colon R\to R}
. 이들을
n
{\displaystyle n}
차 람다 연산 (영어 :
n
{\displaystyle n}
th λ-operation )이라고 한다.
이 함수
λ
n
{\displaystyle \lambda ^{n}}
들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
λ
0
(
r
)
=
1
∀
r
∈
R
{\displaystyle \lambda ^{0}(r)=1\qquad \forall r\in R}
λ
1
(
r
)
=
r
∀
r
∈
R
{\displaystyle \lambda ^{1}(r)=r\qquad \forall r\in R}
λ
n
(
1
)
=
0
∀
n
≥
2
{\displaystyle \lambda ^{n}(1)=0\qquad \forall n\geq 2}
(합의 람다 연산)
λ
n
(
r
+
s
)
=
∑
i
+
j
=
n
λ
i
(
r
)
λ
j
(
s
)
∀
r
,
s
∈
R
,
n
∈
N
{\displaystyle \lambda ^{n}(r+s)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(r)\lambda ^{j}(s)\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} }
(곱의 람다 연산)
λ
n
(
r
s
)
=
P
n
(
λ
1
(
r
)
,
…
,
λ
n
(
r
)
,
λ
1
(
s
)
,
…
,
λ
n
(
s
)
)
∀
r
,
s
∈
R
,
n
∈
N
{\displaystyle \lambda ^{n}(rs)=P_{n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{n}(r),\lambda ^{1}(s),\dots ,\lambda ^{n}(s))\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} }
(람다 연산의 합성)
λ
m
(
λ
n
(
r
)
)
=
P
m
,
n
(
λ
1
(
r
)
,
…
,
λ
m
n
(
r
)
)
∀
r
∈
R
n
∈
N
{\displaystyle \lambda ^{m}(\lambda ^{n}(r))=P_{m,n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{mn}(r))\qquad \forall r\in R\;n\in \mathbb {N} }
람다 환의 모임 은 대수 구조 다양체 를 이룬다. 두 람다 환
R
{\displaystyle R}
,
R
′
{\displaystyle R'}
사이의 준동형 은 대수 구조 로서의 준동형 이다. 즉, 환 준동형
f
:
R
→
R
′
{\displaystyle f\colon R\to R'}
가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.[2] :§16.4 [3] :10, Definition 1.25
f
(
λ
n
(
r
)
)
=
λ
n
(
f
(
r
)
)
∀
r
∈
R
,
n
∈
N
{\displaystyle f(\lambda ^{n}(r))=\lambda ^{n}(f(r))\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} }
람다 환과 람다 환 준동형은 범주
λ
-Ring
{\displaystyle \lambda {\text{-Ring}}}
를 이룬다.
코호몰로지 연산 의 일종인 애덤스 연산 을 위상 K군 으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.[1] :§2.2
람다 환
R
{\displaystyle R}
에 대하여, 람다 연산의 생성 함수 를 정의하자.[2] :(16.10) [3] :7, (1.7)
λ
t
(
r
)
=
∑
i
=
0
∞
λ
i
(
r
)
t
i
∈
R
[
[
t
]
]
{\displaystyle \lambda _{t}(r)=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]}
그렇다면,
R
{\displaystyle R}
위의 애덤스 연산
Ψ
n
:
R
→
R
∀
n
∈
Z
+
{\displaystyle \Psi ^{n}\colon R\to R\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}
Ψ
t
(
r
)
=
∑
i
=
1
∞
Ψ
i
(
r
)
t
i
∈
R
[
[
t
]
]
{\displaystyle \Psi _{t}(r)=\sum _{i=1}^{\infty }\Psi ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]}
은 다음과 같다.[2] :§16.20
Ψ
t
(
r
)
=
−
t
d
d
t
ln
(
λ
−
t
(
r
)
)
∀
r
∈
R
{\displaystyle \Psi _{t}(r)=-t{\frac {\operatorname {d} }{\mathrm {d} t}}\ln \left(\lambda _{-t}(r)\right)\qquad \forall r\in R}
즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.
다음 두 조건을 만족시키는 가환환
R
{\displaystyle R}
를 이항환 (二項環, 영어 : binomial ring )이라고 한다.
덧셈군
(
R
,
+
)
{\displaystyle (R,+)}
의 꼬임 부분군 이 자명군 이다. 즉, 표준적 준동형
ι
:
R
→
R
⊗
Z
Q
{\displaystyle \iota \colon R\to R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }
는 단사 함수 이다.
모든 이항 계수
(
r
n
)
(
r
∈
R
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {r}{n}}\;(r\in R)}
를 원소로 포함한다. 즉, 임의의
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
및
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여,
ι
(
s
)
=
(
r
n
)
=
r
(
r
−
1
)
⋯
(
r
−
n
+
1
)
/
n
!
∈
R
⊗
Z
Q
{\displaystyle \iota (s)=\textstyle {\binom {r}{n}}=r(r-1)\cdots (r-n+1)/n!\in R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }
가 되는
s
∈
R
{\displaystyle s\in R}
가 (유일하게) 존재한다.
이항환
R
{\displaystyle R}
위에
λ
n
(
k
)
=
(
k
n
)
{\displaystyle \lambda ^{n}(k)=\textstyle {\binom {k}{n}}}
을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.[3] :Theorem 5.3 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군 인[3] :9, Example 1.16 ) 정수환
Z
≅
K
0
(
{
∙
}
)
{\displaystyle \mathbb {Z} \cong \operatorname {K} ^{0}(\{\bullet \})}
는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.[3] :6, §1.2.1
이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수 인 람다 환의 개념과 동치 이다.[4]
가환환
R
{\displaystyle R}
위의 형식적 멱급수환
R
[
[
x
]
]
{\displaystyle R[[x]]}
속의,
x
0
{\displaystyle x^{0}}
항의 계수가 1인 형식적 멱급수 들로 구성된 부분 집합
Λ
(
R
)
=
1
+
x
R
[
[
x
]
]
⊆
R
[
[
x
]
]
{\displaystyle \Lambda (R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]}
을 생각하자. 이는
R
[
[
x
]
]
{\displaystyle R[[x]]}
-곱셈에 대하여 가환 모노이드 를 이룬다.
Λ
(
R
)
{\displaystyle \Lambda (R)}
위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.[1] :7, §2 [2] :§9.1
Λ
(
R
)
{\displaystyle \Lambda (R)}
의 덧셈은
R
[
[
x
]
]
{\displaystyle R[[x]]}
의 곱셈이다.
Λ
(
R
)
{\displaystyle \Lambda (R)}
의 곱셈은 다음과 같다.[2] :§9.15
(
1
+
r
1
x
+
r
2
x
2
+
⋯
)
⋅
(
1
+
s
1
x
+
s
2
x
2
+
⋯
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
P
n
(
r
1
,
…
,
r
n
,
s
1
,
…
,
s
n
)
x
n
{\displaystyle (1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )\cdot (1+s_{1}x+s_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{n}(r_{1},\dots ,r_{n},s_{1},\dots ,s_{n})x^{n}}
Λ
(
R
)
{\displaystyle \Lambda (R)}
의 람다 연산은 다음과 같다.[2] :(16.8)
λ
n
(
1
+
r
1
x
+
r
2
x
2
+
⋯
)
=
1
+
∑
m
=
1
∞
P
m
,
n
(
r
1
,
…
,
r
m
n
)
t
m
{\displaystyle \lambda ^{n}(1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{m=1}^{\infty }P_{m,n}(r_{1},\dots ,r_{mn})t^{m}}
이 환은
R
{\displaystyle R}
계수의 (큰) 비트 벡터 환
WittVector
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)}
과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로
R
Z
+
{\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}}
위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우
WittVector
(
R
)
→
Λ
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)\to \Lambda (R)}
(
x
1
,
x
2
,
…
)
↦
1
(
1
−
x
1
t
)
(
1
−
x
2
t
2
)
⋯
∈
R
[
[
t
]
]
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto {\frac {1}{(1-x_{1}t)(1-x_{2}t^{2})\cdots }}\in \mathbb {R} [[t]]}
는 환의 동형을 정의한다.[2] :(9.22) [3] :Theorem 4.16 이를 아르틴-하세 지수 함수 (영어 : Artin–Hasse exponential map )라고 한다.
이는 함자
Λ
:
CRing
→
λ
-Ring
{\displaystyle \Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}
를 정의하며, 이는 망각 함자
F
:
λ
-Ring
→
CRing
{\displaystyle F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing} }
의 오른쪽 수반 함자 이다.
F
⊣
Λ
{\displaystyle F\dashv \Lambda }
가산 무한 개의 변수
x
→
=
(
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )}
의 형식적 멱급수환
Z
[
[
x
→
]
]
{\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]}
을 생각하자.
Z
[
[
x
→
]
]
{\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]}
의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수
x
i
{\displaystyle x_{i}}
들의 곱이다.
가산 무한 개의 변수
x
→
=
(
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )}
의 대칭 다항식
p
∈
Z
[
[
x
→
]
]
{\displaystyle p\in Z[[{\vec {x}}]]}
은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.[1] :§2.2 [2] :(9.38), (9.39)
임의의 순열
σ
∈
Sym
(
Z
+
)
{\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})}
에 대하여
p
(
x
σ
(
1
)
,
x
σ
(
2
)
,
…
)
=
p
(
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle p(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots )=p(x_{1},x_{2},\dots )}
이다. (여기서
Sym
(
Z
+
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})}
는 양의 정수의 집합 위의 대칭군 이다.)
p
{\displaystyle p}
에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합 이다 (즉, 상계 를 갖는다).
대칭 다항식들의 집합은
Z
[
[
x
→
]
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]}
의 부분환 을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식
e
i
(
x
→
)
=
∑
1
≤
j
1
<
j
2
<
⋯
<
j
i
x
j
1
x
j
2
⋯
x
j
i
∈
Z
[
[
x
→
]
]
{\displaystyle e_{i}({\vec {x}})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}}x_{j_{1}}x_{j_{2}}\cdots x_{j_{i}}\in \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]}
들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을
Z
[
e
0
(
x
→
)
,
e
1
(
x
→
)
,
…
,
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [e_{0}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {x}}),\dots ,]}
로 표기할 수 있다.
그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.[2] :§16.65
λ
m
:
e
n
(
x
→
)
↦
P
m
,
n
(
e
1
(
x
→
)
,
…
,
e
m
n
(
x
→
)
)
{\displaystyle \lambda ^{m}\colon e_{n}({\vec {x}})\mapsto P_{m,n}(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{mn}({\vec {x}}))}
그렇다면,
Z
[
e
1
(
x
→
)
,
…
,
e
n
(
x
→
)
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]}
는 1변수 정수 계수 다항식환
Z
[
e
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [e]}
위의 자유 람다 환이다.[1] :Theorem 2.1 [2] :Theorem 16.74 즉, 자유 람다 환 함자
S
:
CRing
→
λ
-Ring
{\displaystyle S\colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}
함자 아래
Z
[
e
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [e]}
의 상 이다. 또한,
S
{\displaystyle S}
아래 임의의 환 준동형
f
:
Z
[
e
]
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} [e]\to R}
f
:
e
↦
f
(
e
)
∈
R
{\displaystyle f\colon e\mapsto f(e)\in R}
의 상 은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.
S
f
:
Z
[
e
1
(
x
→
)
,
…
,
e
n
(
x
→
)
]
→
R
{\displaystyle Sf\colon \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]\to R}
S
f
:
e
n
↦
λ
n
(
f
(
e
)
)
{\displaystyle Sf\colon e_{n}\mapsto \lambda ^{n}(f(e))}
파라콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
위의 위상 K군
K
K
0
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{K}^{0}(X)}
는 람다 환을 이룬다.[3] :9, Example 1.16 이 경우
λ
n
{\displaystyle \lambda ^{n}}
은 벡터 다발 위의 외대수
λ
n
[
E
]
=
[
Λ
n
(
E
;
K
)
]
{\displaystyle \lambda ^{n}[E]=[\Lambda ^{n}(E;K)]}
이다.
유한군
G
{\displaystyle G}
위의 체
K
{\displaystyle K}
계수 표현환
Repr
(
G
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Repr} (G;K)}
(군의 유한 차원
K
{\displaystyle K}
-벡터 공간 표현 들의 반환 의 그로텐디크 구성 )은 람다 환을 이룬다.[3] :9, Example 1.17 이 경우,
λ
n
{\displaystyle \lambda ^{n}}
은 군의 표현 의 외대수 이다.
λ
[
r
−
r
′
]
=
λ
(
r
∧
n
−
r
′
∧
n
)
(
r
:
G
→
V
,
r
′
:
G
→
V
′
,
r
∧
n
:
G
→
Λ
n
V
,
r
′
∧
n
:
G
→
Λ
n
V
{\displaystyle \lambda [r-r']=\lambda (r^{\wedge n}-r'^{\wedge n})\qquad (r\colon G\to V,\;r'\colon G\to V',\;r^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V,\;r'^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V}
알렉산더 그로텐디크 가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리 를 연구하기 위하여 도입하였다.[5] [2] :§16.1
역사적으로,
P
n
{\displaystyle P_{n}}
및
P
m
,
n
{\displaystyle P_{m,n}}
으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(영어 : special λ-ring )으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.[2] :§16.1