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서울시내 관리용/안내용 특별시도 노선 현황

여기까지 도로 별 특별시도 표기 정리 완료

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로그함수를 지수함수의 역함수로서 정의하지 않고 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 로그함수의 역함수로 정의한다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

$\ln x=\int _{1}^{x}{1 \over t}\,dt$

이때 $y=\ln x$ 는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 $y=\exp(x)$ 라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

${dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y$

즉, ${d \over dx}\exp(x)=\exp(x)$ 이다. 또한, $\ln 1=0$ 이므로, $\exp(0)=1$ 이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

$\exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)$

\exp(a)=p,\exp(b)=q

로 놓으면

a=\ln p,b=\ln q

이므로 로그의 성질에 의하여

a+b=\ln p+\ln q=\ln pq

따라서

\exp(a+b)=pq=\exp(a)\cdot \exp(b)

가 성립한다.

로그함수 $y=\ln x$ 는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 $\ln x=1$ 를 만족하는 해 $x$ 가 존재하며, 단사함수이므로 실수 $x$ 는 단 한개만 존재한다. 방정식 $\ln x=1$ 의 해를 $x=e$ 라 하자.

$\therefore \ln e=1,\exp(1)=e$

이제 $\exp(x)=e^{x}$ 로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 $x$ 가 자연수일 때 $\exp(x)=\underbrace {e\times e\times e\times \cdots e} _{x}$ 임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 $a^{x}=e^{x\ln a}$ $(a>0)$ 로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 $x$ 에 대하여 $a^{x}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{x}$ 임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.

1에 대하여 성립

a^{1}=e^{\ln a}=a

$n$ 에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1$ 에 대하여 성립

a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}

양변에 a를 곱하면

a^{n}\cdot a=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}

위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.

a^{n}\cdot a=a^{n}\cdot a^{1}=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}

\therefore a^{n+1}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}

따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수

x

에 대하여

e^{x\ln a}

로 정의된

a^{x}

는 a를 x번 곱한 것과 같다.