중간값 정리

중간값 정리

해석학에서, 중간값 정리[1](中間-定理, 영어: intermediate value theorem) 또는 사잇값 정리[2]:78구간에 정의된 실숫값 연속 함수가 임의의 두 함숫값 사이의 모든 수를 함숫값으로 포함한다는 정리이다. 이에 따라, 실숫값 연속 함수에 대한 구간의 은 구간이다.

정의편집

연속 함수  가 주어졌다고 하자. 중간값 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

 

즉, 임의의  에 대하여, 다음을 만족시키는  가 존재한다.[3]

 

증명편집

편의상  라고 가정하자. 임의의  에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

 

그렇다면,  이며,   의 한 상계이다. 따라서,  는 유한한 상한

 

를 갖는다.  가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는  이 존재한다.

 
 

따라서  이다. 이제 귀류법을 사용하여  를 보이자. 먼저  라고 가정하자. 그렇다면,  가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는  이 존재한다.

 

즉,   의 또 다른 상계이며, 이는  와 모순이다. 이제  를 가정하자. 그렇다면,  가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는  이 존재한다.

 

즉,  이며, 이는  와 모순이다. 따라서  이다.

따름정리편집

볼차노 정리편집

연속 함수  가 다음을 만족시킨다고 하자.

 

볼차노 정리(영어: Bolzano's theorem)에 따르면,   에서 영점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

볼차노 정리는 중간값 정리에서  인 특수한 경우이다.

구간의 보존편집

구간   및 연속 함수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  의 상  은 역시 구간이다. 이를 연결 공간의 개념을 사용하지 않고 증명하려면,  가 구간일 필요충분조건이 임의의  에 대하여  인 것이라는 보조정리를 사용해야 한다.

특히, 만약  가 닫힌구간일 경우,  의 양 끝점은  최댓값최솟값이다. 즉, 다음이 성립한다.

 

이 정리는 중간값 정리와 최대 최소 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식의 근의 존재편집

임의의 실수 홀수다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식

 

이 주어졌다고 하자. 편의상  이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

예를 들어, 전자의 경우 다음과 같이 보일 수 있다.

 

이에 따라, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

중간값 정리를  에 적용하면, 다음을 만족시키는  의 영점  의 존재를 얻는다.

닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리편집

연속 함수  는 항상 고정점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 함수  를 정의하자.

 

그렇다면,  는 연속 함수이며,  이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

즉,  가 성립한다.

가역 연속 함수의 단조성편집

구간  단사 연속 함수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

귀류법을 사용하여,  가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  •  
  •   또는  

편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면,  를 취할 수 있다. 각각   에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는   가 존재함을 얻는다.

 

이는  가 단사 함수인 것과 모순이다.

일반화편집

위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다.

연결 공간의 보존편집

위상 공간   사이의 연속 함수  가 주어졌다고 하자. 만약  연결 공간이라면,   역시 연결 공간이다. 실수 집합   위에서 연결 공간은 구간과 동치이므로, 이와 같은 정리는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

위상 공간  와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합   사이의 연속 함수  가 주어졌다고 하자. 만약  가 연결 공간이라면, 임의의  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

실수 집합  은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다.

다르부의 정리편집

미분 가능 함수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

이를 다르부의 정리라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부의 정리는 중간값 정리의 일반화이다.

각주편집

  1. “수학용어”. 《대한수학회》. 2019년 3월 31일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 3월 31일에 확인함. 
  2. 교육과학기술부. 《[별책8]수학과 교육과정(교육과학기술부 고시 제2011-361호)(최종수정)》. 2019년 3월 31일에 확인함. 
  3. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 18쪽. ISBN 978-89-966211-8-8. 

외부 링크편집