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단사 함수

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단사 함수의 예
단사 함수가 아닌 예 (이는 전사 함수이기는 하다).

수학에서, 단사 함수(單射函數, 영어: injection; injective function) 또는 일대일 함수(一對一函數, 영어: one-to-one function)는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다. 공역의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 이다.[1]

정의편집

집합  ,   사이의 함수  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약  이라면,  이다.
  • 임의의  에 대하여, 만약  이라면,  이다.
  •  를 그 치역  에 국한시킨다면,  정의역  치역   사이의 전단사 함수를 정의한다.
  •  는 집합의 범주에서의 단사 사상이다. 즉, 임의의 집합  함수  에 대하여, 만약  라면  이다.
  •  는 집합의 범주에서의 분할 단사 사상이다. 즉,    위의 항등 함수를 이루는 함수  가 존재한다.

성질편집

임의의 함수  ,  가 주어졌다고 하자.

  • 만약   가 둘 다 단사 함수라면,   역시 단사 함수이다.
  • 만약  가 단사 함수라면,   역시 단사 함수이다. 하지만  가 단사 함수일 필요는 없다.

두 집합  ,  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 단사 함수  가 존재한다.
  •  이다. 여기서  집합의 크기이다.

정의역크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.

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  • 항등 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
  • 임의의 집합   및 그 부분 집합  에 대하여, 포함 함수  는 단사 함수이다.
  •  로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
  •  으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어  이다.
    • 그러나, 만약  의 정의역을 음이 아닌 실수  로 제한한다면  는 단사 함수이다.
  • 지수 함수  는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.)
  • 자연 로그 함수  는 단사 함수이다.

역사편집

유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(영어: injection), "앵젝시옹"(프랑스어: injection) 등은 "이니엑티오"(라틴어: iniectiō)에서 유래하였으며, 이는 "인"(라틴어: in, 안에) + "야키오"(라틴어: iaciō, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Susanna S.Epp (2010). 《Discrete Mathematics with Applications 4th Edition》. 398쪽. For a one-to-one function, each element of the range is the image of at most one element of the domain. 

참고 문헌편집

외부 링크편집