사용자:Kobmuiv/가가 정리

수학에서 대수 기하학과 해석 기하학은 밀접하게 관련된 두 가지 주제이다. 대수기하학이 대수 다형체를 연구하는 동안, 해석 기하학은 복소 다양체와 복소 다변수 해석 함수의 근에 의해 국소적으로 정의된 보다 일반적인 해석 공간을 다룬다. 이 과목들 사이의 깊은 관계는 대수적 기법이 해석 공간에 적용되고 해석 기법이 대수적 다형체에 적용되는 수많은 응용을 가지고 있다.

주요 진술

$X$를 사영 복소 대수 다형체라고 하자. $X$는 복소수이기 때문에 복소수 점 $X(\mathbb {C} )$의 집합에 조밀 복소 해석 공간의 구조가 주어질 수 있다. 이 해석 공간은 $X^{\mathrm {an} }$로 표시된다. 마찬가지로, 만약 ${\mathcal {F}}$가 $X$위의 층이면 대응하는 $X^{\mathrm {an} }$위의 층 ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$가 존재한다. 해석적 대상과 대수적 대상의 이러한 연결은 함자이다. $X$와 $X^{\mathrm {an} }$에 관한 원형 정리는 $X$위의 두 개의 연접층 ${\mathcal {F}}$와 ${\mathcal {G}}$에 대해 자연 준동형

${\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})$

이 동형사상이라고 한다. 여기서 ${\mathcal {O}}_{X}$는 대수적 다형체 $X$의 구조 층이고 ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$는 해석적 다형체 $X^{\mathrm {an} }$의 구조 층이다. 즉, 대수 다형체 $X$에 대한 연접층의 범주는 해석적 다형체 $X^{\mathrm {an} }$에 대한 해석적 연접층의 범주와 동등하며, 그 동등성은 사상 ${\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}^{\text{an}}$에 의해 대상에 부여된다. (특히 ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ 그 자체는 연접층이며, 이는 Oka 일관성 정리로 알려진 결과이며, 또한 "Faisceaux Algebriques Coherents"( Serre (1955) )에서 대수적 다형체 ${\mathcal {O}}_{X}$의 구조 층이 연접층이라고 증명되었다. )

또 다른 중요한 진술은 다음과 같다. 대수적 다형체 $X$에서 임의의 연접층 ${\mathcal {F}}$에 대해 준동형

$\varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})$

들은 모든 q' 에 대해 동형사상이다. 이는 $X$ 상의 q 번째 코호몰로지 군이 $X^{\mathrm {an} }$ 상의 코호몰로지 군과 동형임을 의미한다.

정리는 위에서 언급한 것보다 훨씬 더 일반적으로 적용된다(아래 공식 설명 참조). 그것과 그 증명은 저우 정리, 립시츠 원리 및 고다이라 소멸 정리와 같은 많은 결과를 가져온다.

배경

대수적 다형체는 국소적으로 다항식의 공통 영점 집합으로 정의되며 복소수에 대한 다항식은 정칙 함수이기 때문에 $\mathbb {C}$에 대한 대수적 다형체는 해석 공간으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 다형체 사이의 정규 사상은 해석 공간 사이의 정칙 사상으로 해석된다. 다소 놀랍게도 대수적 방법으로 해석 대상을 해석하기 위해 반대 방향으로 가는 것이 종종 가능하다.

예를 들어, 리만 구에서 자기 자신에 대한 해석 함수가 유리 함수이거나 동일한 무한 함수(리우빌 정리의 확장)임을 쉽게 증명할 수 있다. 그러한 함수 $f$가 상수가 아닌 경우 $f(z)$가 무한대인 z 집합이 분리되고 리만 구가 콤팩트하므로 $f(z)$가 무한대인 z가 유한하게 많다. 이러한 모든 z에서 로랑 급수 전개를 고려하고 특이 부분을 뺀다. 우리는 리우빌의 정리에 의해 상수인 $\mathbb {C}$의 값을 갖는 리만 구에 함수를 남긴다. 따라서 $f$는 유리 함수이다. 이 사실은 대수 다형체로서 또는 리만 구로서 복소 사영 직선 사이에 본질적인 차이가 없음을 보여준다.

중요한 결과

19세기부터 시작된 대수 기하학과 해석 기하학 사이의 비교 결과에 대한 오랜 역사가 있다. 더 중요한 결과 중 일부는 연대순으로 여기에 나열되어 있다.

리만의 존재 정리

리만 곡면 이론은 콤팩트 리만 곡면에 충분한 유리형 함수가 있어 (매끄러운 사영) 대수 곡선을 만든다는 것을 보여준다. 리만 존재 정리 라는 이름으로 콤팩트 리만 곡면의 분기된 덮개에 대한 더 깊은 결과가 알려졌다. 위상 공간과 같은 유한 덮개는 분기점의 여집합의 기본 군의 순열 표현으로 분류된다. 리만 곡면의 성질은 국소적이기 때문에 이러한 덮개는 복소 해석적 의미에서 덮개로 쉽게 볼 수 있다. 그런 다음 그것들이 대수 곡선의 덮개 사상에서 나온다는 결론을 내릴 수 있다 — 즉, 그러한 덮개는 모두 함수체의 유한 확장에서 나온다.

레프셰츠 원리

20세기에 솔로몬 레프셰츠의 이름을 딴 레프셰츠 원리는 $K$를 복소수 체인 것처럼 취급하여 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 대수 기하학에 대한 위상 수학 기법 사용을 정당화하기 위해 대수 기하학에서 인용되었다. 그것의 기본 형식은 $\mathbb {C}$에 대한 체의 1차 이론의 참 진술이 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$에 대해 참이라고 주장한다. 정확한 원리와 그 증명은 알프레드 타르스키에 기인하며 수리 논리를 기반으로 한다.

이 원리는 $\mathbb {C}$에 대한 대수적 다형체에 대한 해석적 또는 위상 수학적 방법을 사용하여 얻은 일부 결과를 표수 0의 다른 대수적으로 닫힌 기저 체로 옮길 수 있도록 한다. 코다이라형 소멸 정리 )

저우 정리

저우웨이량이 증명한 저우 정리 (1949)는 가장 즉각적이고 유용한 비교의 예시이다. 이 정리는, 닫힌 복소 사영 공간의 해석 부분 공간이 부분 대수 다형체라 한다. 이 정리는 "강력한 위상에서 닫힌 복소 사영 공간의 해석 부분공간은 자리스키 위상에 대해서도 닫힌 집합이다."라고 다시 서술 할 수 있다. 이는 대수 기하학의 고전적 부분에서 복소 해석적 방법을 어느 정도 자유롭게 쓸 수 있음을 의미한다.

GAGA

두 이론 사이의 많은 관계에 대한 기초는 예를 들어 호지 이론의 기법을 포함하는 대수 기하학의 기초를 놓는 작업의 일환으로 1950년대 초반에 자리를 잡았다. 이론을 통합하는 주요 논문은 장피에르 세르의 Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique Serre (1956)였으며 현재 일반적으로 GAGA라고 한다. 그것은 대수 다형체, 정규 사상, 층을 해석 공간, 정칙 사상, 층과 각각 관련시키는 일반적인 결과를 증명한다. 이 모든 것을 층 범주 비교로 귀결시킨다.

요즘에는 GAGA 스타일 결과라는 문구가 모든 비교 정리에 사용되어 대수 기하학의 대상 범주와 해당 사상, 해석 기하학의 대상 및 정칙 사상의 잘 정의된 부분 범주 사이의 다리를 놓는다.

GAGA 정리

1. $(X,{\mathcal {O}}_{X})$를 유한형 복소 스킴이라 하자. 그러면 X의 닫힌 점들로 이뤄진 집합과 연속 포함 사상 $\lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\rightarrow X$으로 구성된 위상 공간 $X^{\mathrm {an} }$가 존재한다. $X^{\mathrm {an} }$위의 위상은 복소 위상으로 불린다.(그리고 부분 위상과는 많이 다르다.)
2. $\phi :X\rightarrow Y$가 국소 유한형 복소 스킴의 사상이라 하자. 그러면 $\lambda _{Y}\circ \phi ^{\mathrm {an} }=\phi \circ \lambda _{X}$인 연속 사상 $\phi ^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\rightarrow Y^{\mathrm {an} }$이 존재한다.
3. $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$가 환 달린 공간이고 $\lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\rightarrow X$이 환 달린 공간들의 사상인 $X^{\mathrm {an} }$위의 층 ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$이 존재한다. 공간 $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$는 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$의 해석화라고 불린다. 모든 $\phi :X\rightarrow Y$에 대해 위에서 정의된 사상 $\phi ^{\mathrm {an} }$이 해석 공간의 사상이다. 더욱이, 사상 $\phi \mapsto \phi ^{\mathrm {an} }$은 열린 몰입을 열린 몰입으로 사상한다. 만약 $X={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}])$이면 $X^{\mathrm {an} }=\mathbb {C} ^{n}$이고 모든 다중 원판 $U$에 대해 ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)$이 $U$ 위의 정칙 함수들의 공간의 적절한 몫공간이다.
4. (대수층이라 불리는) X 위의 모든 층 ${\mathcal {F}}$에 대해 해석층이라 불리는 $X^{\mathrm {an} }$위의 층 ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$와 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군 층의 사상 $\lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$이 존재한다. 층 ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$는 $\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$로 정의된다. 대응 ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$는 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$위의 층 범주에서 $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$의 층 범주로 가는 완전 함자이다.
   
   다음 두 명제는 세르의 가가 정리의 핵심이다. (as extended by Alexander Grothendieck, Amnon Neeman, and others.)
5. 만약 $f:X\rightarrow Y$가 임의의 유한형 복소 스킴의 사상이고 ${\mathcal {F}}$가 연접층이면 자연 사상 $(f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$는 단사이다. f 가 적절하면 이 사상은 동형사상이다. 또한 이 경우 모든 고차 직상 층에 대해 동형사상 $(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$을 얻는다.
6. $X^{\mathrm {an} }$가 하우스도르프이고 콤팩트라 하자. 만약 ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ 가 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$위의 두 대수 연접층이고 $f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }$가 ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$-가군 층의 사상이면,$f=\varphi ^{\mathrm {an} }$인 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군 층의 유일한 사상 $\varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$이 존재한다. 만약 ${\mathcal {R}}$가 $X^{\mathrm {an} }$위의 ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$-가군 해석 연접층이면, ${\mathcal {O}}_{X}$-가군 대수 연접층 ${\mathcal {F}}$와 동형 사상 ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}$가 존재한다.

약간 덜 일반적으로, GAGA 정리는 복소 사영 다형체 X 에 대한 대수 연접층의 범주와 해당 해석 공간 $X^{\mathrm {an} }$에 대한 해석 연접층의 범주가 동등한다고 주장한다. 해석 공간 $X^{\mathrm {an} }$은 좌표 조각을 통해 Cn에서 복소 구조를 X로 다시 끌어서 대략적으로 얻는다. 사실, 이러한 방식으로 정리를 표현하는 것은 정신적으로 세르의 논문에 더 가깝다. 위의 공식 진술이 많이 사용하는 스킴 이론적 서술이 GAGA의 출판 당시에는 아직 발명되지 않았다는 것을 알 수 있다.

같이보기

• 평탄 가군 - 평탄의 개념은 Serre (1956)에 의해 소개되었다. 대수 및 해석 국소 환은 완비성이 같으므로 "플랫 커플"(커플 플랫)이 된다.

참고문헌

• Chow, Wei-Liang (1949). "On Compact Complex Analytic Varieties". American Journal of Mathematics. 71 (4): 893–914. doi:10.2307/2372375. JSTOR 2372375.
• Frey, Gerhard; Rück, Hans -Georg (1986). "The strong Lefschetz principle in algebraic geometry". Manuscripta Mathematica. 55 (3–4): 385–401. doi:10.1007/BF01186653. S2CID 122967192.
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). "Komplexe Räume". Mathematische Annalen. 136 (3): 245–318. doi:10.1007/BF01362011. S2CID 121348794.
• Grothendieck, A. "Sur les faisceaux algébriques et les faisceaux analytiques cohérents". Séminaire Henri Cartan. 9: 1–16.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michele (2002). "Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique". Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (in French). arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058656. ISBN <bdi>978-2-85629-141-2</bdi>.
• Harbater, David (21 July 2003). "Galois Groups and Fundamental Groups§9.Patching and Galois theory (Dept. of Mathematics, University of Pennsylvania)" (PDF). In Schneps, Leila (ed.). Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge University Press. ISBN 9780521808316.
• Hall, Jack (2023). "GAGA theorems". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 175: 109–142. arXiv:1804.01976. doi:10.1016/j.matpur.2023.05.004. S2CID 119702436.
• Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "Transfer principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Neeman, Amnon (2007). Algebraic and Analytic Geometry. doi:10.1017/CBO9780511800443. ISBN 9780511800443.
• Seidenberg, A. (1958). "Comments on Lefschetz's Principle". The American Mathematical Monthly. 65 (9): 685–690. doi:10.1080/00029890.1958.11991979. JSTOR 2308709.
• Hartshorne, Robin (1970). Ample Subvarieties of Algebraic Varieties. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 156. doi:10.1007/BFb0067839. ISBN <bdi>978-3-540-05184-8</bdi>.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN <bdi>978-0-387-90244-9</bdi>. MR 0463157. S2CID 197660097. Zbl 0367.14001.
• Hartshorne, Robin (2010). "First-Order Deformations". Deformation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 257. pp. 5–44. doi:10.1007/978-1-4419-1596-2_2. ISBN <bdi>978-1-4419-1595-5</bdi>.
• Kawamata, Yujiro; Matsuda, Katsumi; Matsuki, Kenji (1987). "Introduction to the Minimal Model Problem". Algebraic Geometry, Sendai, 1985. pp. 283–360. doi:10.2969/aspm/01010283. ISBN <bdi>978-4-86497-068-6</bdi>.
• Remmert, R. (1994). "Local Theory of Complex Spaces". Several Complex Variables VII. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 74. pp. 7–96. doi:10.1007/978-3-662-09873-8_2. ISBN <bdi>978-3-642-08150-7</bdi>.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF), Annals of Mathematics, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, MR 0068874
• Serre, Jean-Pierre (1956). "Géométrie algébrique et géométrie analytique". Annales de l'Institut Fourier (in French). 6: 1–42. doi:10.5802/aif.59. ISSN 0373-0956. MR 0082175.
• Taylor, Joseph L. (2002). Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups. ISBN 9780821831786.

외부 링크

• 키란 케들라야. 18.726 대수 기하학 ( LEC # 30 - 33 GAGA )2009년 봄. 매사추세츠 공과대학: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .

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