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대수기하학에서, 가가 정리(GAGA定理, 영어: GAGA theorems)는 복소수에 대한 사영 스킴이 해석적 다양체와 유사한 성질을 갖는다는 것을 보이는 일련의 정리들이다.

정의편집

가가 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

해석 공간의 존재편집

   위의 유한형 스킴이라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 환 달린 공간  이 존재한다.

  •  의 점들은  자리스키 닫힌 점들이다.
  • 포함 사상  연속 함수이며 환 달린 공간의 사상이다.

  위의  에 대하여,    위에 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

이는  -가군층의 범주에서  -층의 범주로 가는 완전 함자이다.

두 복소수 위의 스킴  에 대하여, 복소수 위의 국소 유한형 사상  가 주어졌다면, 다음을 만족시키는 연속 함수  가 존재한다.

  •  
  •  환 달린 공간의 사상이다.

연접층의 성질편집

가가 정리에 따르면, 연접층의 경우 스킴 위의 연접층과 해석 공간 위의 연접층 사이에 다음과 같은 조건 아래 일대일 대응이 존재한다.

  •  하우스도르프 콤팩트 공간이며,   위의 두 연접층  ,  가 주어졌고,   -층의 사상이라면,  인 유일한  -가군층  가 존재한다.
  • 반대로,    위의 연접층이라면,   -가군층  가 존재한다.

복소수 위의 스킴 사이의 유한형 사상  연접층  에 대하여, 자연스러운 사상  단사 사상이며, 만약  고유 사상이라면 이는 동형 사상이다.

저우 정리편집

(비특이 해석적) 복소다양체  에서 복소수 사영 공간   속으로 가는 단사 쌍정칙 함수  가 주어졌다고 하자. 저우 정리([周]定理, 영어: Chow’s theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:167[2]:8, Theorem 1.9

  •  는 복소수 사영 공간의 (비특이 해석적) 닫힌 부분 복소다양체를 이룬다. 즉,  는 복소수 사영 공간의 표준적 (해석적) 위상에 대하여 닫힌집합이다.
  •  는 복소수 사영 공간의 닫힌 부분 대수다양체를 이룬다. 즉,  는 복소수 사영 공간의 자리스키 위상에 대하여 닫힌집합이다.

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가가 정리는 연접층이 왜 중요한 개념인지를 설명한다. 예를 들어, 상수층  를 생각하자. 이 경우, 모든  에 대하여  이지만,  이 위상수학적으로 자명하지 않는 경우  는 (복소 계수 특이 코호몰로지와 일치하므로) 자명하지 않다.

역사편집

장피에르 세르가 1956년에 증명하였다.[3] 이름의 "가가"(프랑스어: GAGA)는 세르의 논문의 제목인 프랑스어: géométrie algébrique et géométrie analytique 제오메트리 알제브리크 에 제오메트리 아날리티크[*](대수기하학과 해석기하학)의 약자이다. 이후 알렉산더 그로텐디크가 이를 스킴의 언어로 재정리하였다.

참고 문헌편집

  1. Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》. Wiley Classics Library (영어) 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001. 
  2. Harris, Joe (1995). 《Algebraic geometry: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 133. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2189-8. ISBN 978-0-387-97716-4. ISSN 0072-5285. MR 1416564. Zbl 0779.14001. 
  3. Serre, Jean-Pierre (1956). “Géométrie algébrique et géométrie analytique”. 《Annales de l’Institut Fourier》 (프랑스어) 6: 1–42. doi:10.5802/aif.59. ISSN 0373-0956. MR 0082175. 

외부 링크편집

같이 보기편집