사원수 벡터 공간

선형대수학에서, 사원수 벡터 공간(영어: quaternionic vector space)는 사원수 대수 위의 가군이다.

정의편집

사원수 벡터 공간환론에서의 가군의 개념으로 직접적으로 정의할 수도 있고, 대신 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.

사원수 대수의 가군편집

사원수 대수  는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한,  는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산

 
 

아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다.

 

따라서,   위의 왼쪽 가군오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

사원수 대수   위의 (자유) 가군을 사원수 벡터 공간이라고 한다.

복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조편집

  차원 복소수 벡터 공간   위의 사원수 구조는 다음 조건을 만족시키는  -반선형 변환  이다.

 

사원수 구조를 갖춘   차원 복소수 벡터 공간을   차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

실수 벡터 공간 위의 사원수 구조편집

  차원 실수 벡터 공간   위의 사원수 구조  는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의  -선형 변환

 

로 구성된다.

 

즉,   을 보존하는 군 준동형

 
 

를 정의한다. 여기서  사원수군이다.

사원수 구조를 갖춘   차원 실수 벡터 공간을   차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

사원수 선형 변환편집

사원수 벡터 공간  가 주어졌을 때,   위의 사원수 선형 변환    위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군  를 이루며,  가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.

사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조편집

 차원 복소수 벡터 공간   위의 실수 구조는  인 반선형 변환  에 의하여 주어진다. 이 경우  는 각 성분의 복소수 켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조(영어: complex structure)는  인 반선형 변환으로서 주어진다.

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복소수 벡터 공간  가 주어졌을 때,  는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.[1]:§1.6.3

 

이 함수가  -반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

 

이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.

 
 

그렇다면

 

임을 쉽게 확인할 수 있다.

참고 문헌편집

  1. Moore, Gregory W. (2014년 8월 22일). “Quantum symmetries and K-theory” (PDF) (영어). 

외부 링크편집