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상대 호몰로지

대수적 위상수학에서, 상대 호몰로지(relative homology)는 위상 공간의 어떤 부분공간에 대하여 사슬 복합체의 몫을 취하여 얻은 특이 호몰로지다.

정의편집

 위상 공간이고,  가 그 부분공간이라고 하자. 그렇다면 그 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 벡터 공간짧은 완전열이 존재한다.

 .

몫공간  의 원소를 상대 사슬(relative chain)이라고 한다.

 에 대한 경계 연산자   를 보존한다. 따라서  의 경계를 정의할 수 있다. 이에 따라  는 사슬 복합체를 이루며, 그 호몰로지상대 호몰로지  라고 한다.

성질편집

(통상적인) 특이 호몰로지 라고 하면,  이다. 즉, 통상적인 특이 호몰로지는 상대 호몰로지의 특수한 경우다.

절단 정리편집

  를 만족한다고 하자. 여기서  닫힘이고,  내부이다. 그렇다면  이다. 이를 절단 정리(excision theorem)이라고 한다.

나아가,  가 위상수학적으로 비교적 정상적인 경우 보통  이다.

상대 호몰로지의 긴 완전열편집

지그재그 보조정리(zigzag lemma)를 사용하여, 다음과 같은 완전열을 정의할 수 있다.

 .

여기서   는 짧은 완전열의 사상들

 

의 펑터  에 대한 이다.  는 지그재그 보조정리에 의하여 정의되는 사상이다. 즉, 상대 호몰로지  의 경계는  에 속한다.

에일렌베르크-스틴로드 공리편집

상대 호몰로지는 에일렌베르크-스틴로드 공리라는 공리계를 따른다.

참고 문헌편집