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호몰로지 대수학에서, 뱀 완전열(-完全列, 영어: snake exact sequence)은 아벨 대상의 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 여핵들 사이를 연결하는 완전열이다.

정의편집

아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.

 

여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 이 경우, 세 사상  ,  ,  여핵들로 구성된 6항 완전열이 존재하며, 이를 뱀 완전열이라고 한다.[1]:11, Lemma 1.3.2

 

이 완전열에서,  연결 사상(連結寫像, 영어: connecting morphism)이라고 한다.

연결 사상  는 만약  아벨 군 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.

연결 사상의 구성:

우선, 임의의  에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.

  •  인 임의의   (이는  전사 사상이므로 가능하다)
    •  이므로,  가 된다.
  •  가 완전열이므로, (다시 말해,  이고  단사 사상이므로)   이 유일하게 존재한다.

그렇다면, 연결 사상  는 다음과 같다.

 

이는  의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.

뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 사용하여 보일 수 있다.

증명:[2]:Lemma 2.4

그림의 위에 을, 밑에 여핵을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자.

 

이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다.

  • (가):  
  • (나):  
  • (다):  . 이는  이며,  이기 때문이다. 이 동형 사상은 연결 사상에 해당한다.

이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다.

 

 를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및  를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 동형 사상임을 알 수 있다.

 

이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다.

  • (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 동형 사상  
  • (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 동형 사상  
  • (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 동형 사상  

성질편집

그림

 

에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다.

  • (가) 만약  단사 사상이라면  단사 사상이다.
  • (나)  전사 사상인 경우  전사 사상이다.

이들은 서로 쌍대적이다. 즉, 아벨 범주  에서의 명제 (가)는 반대 범주  에서의 명제 (나)와 같다.

증명:

편의상 (가)를 증명하자.

가환 그림

 

에서,  임을 보이면 족하다.

도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상

 

이 존재한다. 따라서  이다. 따라서,  를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열

 

으로부터,  임을 알 수 있다.

호몰로지 긴 완전열편집

사슬 복합체짧은 완전열이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 호몰로지 긴 완전열(영어: homology long exact sequence)이라고 한다.

구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체  ,  ,  가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자.

 

지그재그 정리(zigzag補助定理, 영어: zigzag lemma)에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

 

뱀 완전열을 사용한 구성:[1]:13–14

다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

 

뱀 정리에 따라서, 다음 두 행들은 완전열을 이룬다.

 
 

따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

 

이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지   이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

 

도롱뇽 정리를 사용한 구성:

다음과 같은 그림을 생각하자.

 

이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자.

 

여기서, 도롱뇽 정리를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉

 

도롱뇽 정리에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열

 

과 같다.

편집

대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, 복시테인 준동형은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.

역사편집

 
1657년 유럽에서 출판된 동물학 서적에 수록된 뱀의 그림

뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림

 

에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문[3]에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.[3]:Lemma 5.8

뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일(영어: Claudia Weill) 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》(영어: It’s My Turn 이츠 마이 턴[*])의 도입부에서 등장한다.[1]:11 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(영어: Kate Gunzinger, 질 클레이버그 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.

참고 문헌편집

  1. Weibel, Charles Alexander (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001. 
  2. Bergman, George Mark (2012). “On diagram-chasing in double complexes”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 26: 60–96. arXiv:1108.0958. Bibcode:2011arXiv1108.0958B. ISSN 1201-561X. Zbl 1264.18018. 
  3. Buchsbaum, David Alvin (1955). “Exact categories and duality”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 80 (1): 1–34. doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993003. MR 0074407. Zbl 0065.25502. 

외부 링크편집