선직다양체

대수기하학에서 선직다양체(線織多樣體, 영어: ruled variety)는 어떤 직선을 움직인 궤적으로 나타낼 수 있는 대수다양체이다.

일엽 쌍곡면은 실수 위의 선직다양체이다.

정의편집

대수적으로 닫힌 체   위의 선직다양체사영 직선    위의 대수다양체  의 곱  쌍유리 동치대수다양체이다.

대수적으로 닫힌 체   위의 대수다양체  에 대하여, 만약

  •   위의 대수다양체  
  • 우세 유리 사상  

이 존재하며, 또한

  •   (  로의 사영)

우세 유리 사상  이 존재하지 않는다면,  단선직다양체(單線織多樣體, 영어: uniruled variety)라고 한다.

선직면(線織面, 영어: ruled surface)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

성질편집

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 단선직다양체의 고다이라 차원 이다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의, 3차원 이하의 대수다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 단선직다양체이다.
  • 고다이라 차원이  이다.

이는 모든 차원에서 성립한다고 추측되지만, 아직 4차원 이상의 경우는 증명되지 않았다.

단선직성은 체의 확대에 따라 보존된다. 그러나 선직성은 체의 확대에 따라 보존되지 않는다. 예를 들어, 사영 평면 속의 원뿔 곡선

 

은 실수체 위에서는 단선직곡선이지만 선직곡선이 아니다. 그러나 복소수체 위에서는 (복소수 사영 직선  과 동형이므로) 이는 단선직곡선이며 선직곡선이다.

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표수 0인 체   위의 사영 공간   속의,  비특이 초곡면에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 차수가  이다.
  • 단선직곡선이다.
  • 파노 다양체이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집

같이 보기편집