주 메뉴 열기

유리 사상

(쌍유리 동치에서 넘어옴)

대수기하학에서, 유리 사상(有理寫像, 영어: rational map)은 “거의 어디서나” (즉, 조밀 열린 부분 스킴)에서 정의되는 스킴 사상이다. 이를 통해, 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent), 즉 두 스킴의 “거의 어디서나” 동형의 개념을 정의할 수 있다.

정의편집

유리 사상편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 스킴  ,  
  •  조밀 열린 부분 스킴  
  • 연속 함수  ,  

만약 다음 조건을 만족시키는  가 존재한다면,   이 서로 유리 동치라고 하자.

  •   조밀 열린 부분 스킴이다.
  •  이다.
  • (스킴 사상으로서)  이다.

 조밀 열린 부분 스킴을 정의역으로 하고,  공역으로 하는  -스킴 사상들의 집합  를 생각하자. 그렇다면, 위 관계는   위의 동치 관계를 이룬다. 이에 대한 몫집합  의 원소를   유리 사상이라고 한다.[1]:23

스킴   위의 항등 유리 사상 동치류이다.

우세 유리 사상편집

일반적으로, 유리 사상은 합성할 수 없다. 이 문제를 해결하려면, 우세 유리 사상의 개념을 도입해야 한다.

두 위상 공간  ,   사이의 함수  에 대하여, 만약 그 치역공역  조밀 집합이라면,  우세 함수(영어: dominant map)라고 한다.

두 스킴  ,   사이의 유리 사상  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유리 사상을 우세 유리 사상(優勢有理寫像, 영어: dominant rational map)이라고 한다.[1]:23

  • 동치류  의 원소 가운데 적어도 하나  에 대하여,  는 우세 함수이다.
  • 동치류  의 모든 원소는 우세 함수이다.

기약 스킴 사이의 우세 유리 사상은 합성이 가능하며, 항등 유리 사상은 우세 유리 사상이다. 따라서, 기약 스킴과 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 대수적으로 닫힌 체  에 대하여,  -대수다양체와 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다.

쌍유리 사상편집

기약 스킴과 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상쌍유리 사상(雙有理寫像, 영어: birational map)이라고 한다. 마찬가지로, 대수적으로 닫힌 체  에 대하여,  -대수다양체와 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상 -쌍유리 사상이라고 한다.[1]:24

쌍유리 동치편집

대수적으로 닫힌 체  에 대하여, 두  -대수다양체  ,   사이에 다음 조건들이 서로 동치이며,[1]:26, Corollary 4.5 이를 만족시키는 두 대수다양체를 서로 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent)라고 한다.[1]:24

  •    사이에 쌍유리 사상이 존재한다.
  • 서로 동형인 (자리스키) 열린 집합  ,  가 존재한다.
  •   위의 유리 함수체    위의 유리 함수체   -대수로서 서로 동형이다.

편집

부풀리기는 쌍유리 사상이지만, 대수다양체의 동형이 아니다.

참고 문헌편집

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크편집