유리 사상

이 문서는 대수다양체 사이의 사상에 관한 것입니다. 두 다항 함수의 비에 대해서는 유리 함수 문서를 참고하십시오.

대수기하학에서 유리 사상(有理寫像, 영어: rational map)은 “거의 어디서나” (즉, 조밀 열린 부분 스킴)에서 정의되는 스킴 사상이다. 이를 통해, 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent), 즉 두 스킴의 “거의 어디서나” 동형의 개념을 정의할 수 있다.

정의

유리 사상

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 스킴 $X$, $Y$
• $X$의 조밀 열린 부분 스킴 $U,U'\subseteq X$
• 연속 함수 $f\colon U\to Y$, $f'\colon U'\to Y$

만약 다음 조건을 만족시키는 $V$가 존재한다면, $f$와 $f'$이 서로 유리 동치라고 하자.

• $V$는 $X$의 조밀 열린 부분 스킴이다.
• $V\subseteq U\cap U'$이다.
• (스킴 사상으로서) $f\upharpoonright V=f'\upharpoonright V$이다.

$X$의 조밀 열린 부분 스킴을 정의역으로 하고, $Y$를 공역으로 하는 ${\mathcal {S}}$-스킴 사상들의 집합 ${\mathcal {S}}_{X,Y}$를 생각하자. 그렇다면, 위 관계는 ${\mathcal {S}}_{X,Y}$ 위의 동치 관계를 이룬다. 이에 대한 몫집합 ${\mathcal {S}}_{X,Y}/\sim$의 원소를 $X\to Y$ 유리 사상이라고 한다.^:23

스킴 $X$ 위의 항등 유리 사상은 $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$의 동치류이다.

우세 유리 사상

일반적으로, 유리 사상은 합성할 수 없다. 이 문제를 해결하려면, 우세 유리 사상의 개념을 도입해야 한다.

두 위상 공간 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 만약 그 치역이 공역 $Y$의 조밀 집합이라면, $f$를 우세 함수(영어: dominant map)라고 한다.

두 스킴 $X$, $Y$ 사이의 유리 사상 $[f]$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유리 사상을 우세 유리 사상(優勢有理寫像, 영어: dominant rational map)이라고 한다.^:23

• 동치류 $[f]$의 원소 가운데 적어도 하나 $f\colon U\to Y$에 대하여, $f$는 우세 함수이다.
• 동치류 $[f]$의 모든 원소는 우세 함수이다.

두 기약 스킴 사이의 우세 유리 사상은 합성이 가능하며, 항등 유리 사상은 우세 유리 사상이다. 따라서, 기약 스킴과 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, $K$-대수다양체와 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다.

쌍유리 사상

기약 스킴과 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 쌍유리 사상(雙有理寫像, 영어: birational map)이라고 한다. 마찬가지로, 대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, $K$-대수다양체와 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 $K$-쌍유리 사상이라고 한다.^:24

쌍유리 동치

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, 두 $K$-대수다양체 $X$, $Y$ 사이에 다음 조건들이 서로 동치이며,^{:26, Corollary 4.5} 이를 만족시키는 두 대수다양체를 서로 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent)라고 한다.^:24

• $X$와 $Y$ 사이에 쌍유리 사상이 존재한다.
• 서로 동형인 (자리스키) 열린 집합 ${\tilde {X}}\subset X$, ${\tilde {Y}}\subset Y$가 존재한다.
• $X$ 위의 유리 함수체 ${\mathcal {K}}_{X}(X)$와 $Y$ 위의 유리 함수체 ${\mathcal {K}}_{Y}(Y)$는 $K$-대수로서 서로 동형이다.

예

부풀리기는 쌍유리 사상이지만, 대수다양체의 동형이 아니다.

외부 링크

• “Birational morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Birational geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Birational transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Birational mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Birational transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.