선직다양체

대수기하학에서 선직다양체(線織多樣體, 영어: ruled variety)는 어떤 직선을 움직인 궤적으로 나타낼 수 있는 대수다양체이다.

일엽 쌍곡면은 실수 위의 선직다양체이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 선직다양체는 사영 직선 $\mathbb {P} _{K}^{1}$과 $K$ 위의 대수다양체 $V$의 곱 $\mathbb {P} _{K}^{1}\times V$와 쌍유리 동치인 대수다양체이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여, 만약

• $K$ 위의 대수다양체 $Y$
• 우세 유리 사상 $\phi \colon Y\times \mathbb {P} ^{1}-\!\to X$

이 존재하며, 또한

• $\phi =\chi \circ \pi _{Y}$ ($\pi _{Y}\colon Y\times \mathbb {P} _{K}^{1}-\!\to Y$는 $Y$로의 사영)

인 우세 유리 사상 $\chi \colon Y-\!\to X$이 존재하지 않는다면, $X$를 단선직다양체(單線織多樣體, 영어: uniruled variety)라고 한다.

선직면(線織面, 영어: ruled surface)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

성질

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 단선직다양체의 고다이라 차원은 $-\infty$이다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의, 3차원 이하의 대수다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 단선직다양체이다.
• 고다이라 차원이 $-\infty$이다.

이는 모든 차원에서 성립한다고 추측되지만, 아직 4차원 이상의 경우는 증명되지 않았다.

단선직성은 체의 확대에 따라 보존된다. 그러나 선직성은 체의 확대에 따라 보존되지 않는다. 예를 들어, 사영 평면 속의 원뿔 곡선

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$

은 실수체 위에서는 단선직곡선이지만 선직곡선이 아니다. 그러나 복소수체 위에서는 (복소수 사영 직선 $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$과 동형이므로) 이는 단선직곡선이며 선직곡선이다.

예

표수 0인 체 $K$ 위의 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}$ 속의, $d$차 비특이 초곡면에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 차수가 $d\leq n$이다.
• 단선직곡선이다.
• 파노 다양체이다.

참고 문헌

• Fischer, Gerd; Jens Piontkowski. 《Ruled Varieties: An Introduction to Algebraic Differential Geometry》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-3-528-03138-1. 

외부 링크

• “Ruled surface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ruled surface”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 전개 가능 곡면