슈어 분해

선형대수학에서 슈어 분해(-分解, 영어: Schur decomposition)는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다.[1][2][3]

정의편집

슈어 분해편집

임의의 복소수   행렬  은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를  (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, 영어: (complex) Schur decomposition)라고 한다 ( 켤레 전치).[2]:351, §7.1.3, Theorem 7.1.3[3]:316, §8.5, Corollary

 

여기서

  •    유니터리 행렬이다.
  •  는 복소수   상삼각 행렬이다.

이 경우,  의 대각 성분들은  고윳값중복 집합을 이룬다. 만약  정규 행렬일 경우,  대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬대각 행렬동치이기 때문이다).

실수 슈어 분해편집

임의의 실수   행렬  은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를  실수 슈어 분해(實數-分解, 영어: real Schur decomposition)라고 한다 ( 전치 행렬).[2]:377, §7.4.1, Theorem 7.4.1

 

여기서

  •  는 실수   직교 행렬이다.
  •  는 실수   블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은   행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수고윳값으로 갖는   행렬이다.

이 경우,  고윳값 의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값   대각 성분이다. 만약  의 모든 고윳값이 실수일 경우,  상삼각 행렬이 된다.[1]:656 만약  대칭 행렬일 경우,  대각 행렬이 된다.

일반화 슈어 분해편집

임의의 두 복소수   행렬  ,  은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를  (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, 영어: (complex) generalized Schur decomposition)라고 한다.[2]:406, §7.7.2, Theorem 7.7.1

 
 

여기서

  •     유니터리 행렬이다.
  •   는 복소수   상삼각 행렬이다.

이 경우,  일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.

 

실수 일반화 슈어 분해편집

임의의 두 복소수   행렬  ,  은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를  실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, 영어: real generalized Schur decomposition)라고 한다.[2]:407, §7.7.2, Theorem 7.7.2

 
 

여기서

  •   는 실수   직교 행렬이다.
  •  는 실수   블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은   또는   행렬이다.
  •  는 실수   상삼각 행렬이다.

역사편집

유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.

참고 문헌편집

  1. Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.
  2. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. 
  3. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크편집