정규 행렬

선형대수학에서, 정규 행렬(正規行列, 영어: normal matrix)은 스스로의 켤레 전치와 가환하는 정사각 행렬이다.[1][2]

정의편집

복소수   정사각 행렬  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  정규 행렬이라고 한다.[1]:664–665

  •   ( 켤레 전치).
    • 실수 행렬의 경우 이 조건은  동치이다 ( 전치 행렬).
  • (유니터리 대각화 가능성)  대각 행렬이 되는 유니터리 행렬  이 존재한다.
    • 특히, 정규 행렬의 고유 공간들은 서로 직교한다.
    • 이 조건은 실수 행렬에서 직교 대각화 가능성으로 대체할 수 없다. (예를 들어, 0도 또는 180도가 아닌 회전 행렬은 실수 직교 행렬이며, 특히 정규 행렬이지만, 실수 고윳값을 가지지 않는다.)

성질편집

연산에 대한 닫힘편집

정규 행렬   및 자연수   및 복소수  에 대하여,    역시 정규 행렬이다. 가역 정규 행렬  에 대하여,   역시 정규 행렬이다. 그러나 두 정규 행렬의 합과 곱은 정규 행렬일 필요가 없다.

충분 조건편집

다음 복소수 정사각 행렬들은 모두 정규 행렬이다.[1]:664–665

복소수 정사각 행렬에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[2]:315–316, §8.5, Theorem 20

유리 표준형편집

복소수   정사각 행렬  이 정규 행렬이라면,  유리 표준형이 되는 유니터리 행렬  이 존재한다.[2]:356, §9.6, Corollary 만약 추가로  의 모든 성분이 실수일 경우,  유리 표준형이 되는 실수 직교 행렬  가 존재한다.[2]:356, §9.6, Corollary

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》, 범한서적주식회사, 2006
  2. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크편집